Matrizen - Lineare Algebra

22.09.2008, 23:54

commander731

Matrizen - Lineare Algebra

Nabend,

hätt da ne Aufgabe, bei der ich nicht so recht verstehe, was überhaupt zu tun ist:

Zeige: Das Gleichungssystem Ax = b mit

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist für alle reellen Zahlen a eindeutig lösbar.

Danke für Hilfe

22.09.2008, 23:57

tmo

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Lautet die Aufgabe vielleicht nicht eher, dass das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} Ax=b \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ eindeutig lösbar ist?

23.09.2008, 00:12

commander731

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Ich mein mich nicht vertan zu haben..
müsste also a sein, oder ist es wirklich undenkbar?

23.09.2008, 00:14

tmo

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Ja, so wie du die Aufgabe gestellt hast, ist sie sinnlos. Was hat das LGS Ax = b plötzlich mit der reellen Zahl a zu tun?

23.09.2008, 00:21

commander731

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naja, dachte mir, dass es möglicherweise was mit den reellen Zahlen a in der Matrix zutun hat..

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Edit: so, endlich richtig dargestellt...

23.09.2008, 01:12

Romaxx

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Tut mir leid, aber auch für mich macht die Aufgabe bisher keinen Sinn.
Überprüfe nochmal, ob du wirklich alle relevanten Informationen hier stehen hast.

23.09.2008, 02:00

commander731

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Zitat:

Original von tmo
Lautet die Aufgabe vielleicht nicht eher, dass das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} Ax=b \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ eindeutig lösbar ist?

na schön, sagen wir, dem sei so.

Was dann?
Es feht b sowie auch x.

23.09.2008, 02:36

commander731

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RE: Matrizen - Lineare Algebra
ach man, blödes gekrackel, jetzt erst sehe ich, was ich übersehen habe..

Sorry für die Verwirrung.

Zeige: Das Gleichungssystem Ax = b mit

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist für alle reellen Zahlen a eindeutig lösbar.

JETZT düfte es es Sinn ergeben.

23.09.2008, 09:13

klarsoweit

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RE: Matrizen - Lineare Algebra
Entweder bringst du die Matrix auf Zeilenstufenform oder du berechnest die Determinante. Ist das Schulstoff?

23.09.2008, 09:44

TheWitch

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Wenn der Fragesteller zum Beispiel aus Nordrhein-Westfalen kommt: Ja.

23.09.2008, 15:53

commander731

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Als Determinante bekomme ich raus:

$\begin{eqnarray*} =1(a^2)-1(a^3-a)+1(1+a^3-a-a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =a^2-a^3+a+1+a^3-a-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =a^2-a+1 \end{eqnarray*}$

Und das hat ja keine Nullstellen, was nun?

23.09.2008, 15:57

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Wenn's keine Nullstellen hat (zumindest keine reellen), dann ist eben die Determinante ungleich Null für alle reellen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . "Was nun" - na denk doch mal nach!

23.09.2008, 16:39

commander731

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Ich denke und denke, komme aber nicht drauf. Ich dachte, dass die Nullstellen bereits die Lösung sein müssten..

24.09.2008, 14:48

commander731

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Offenbar scheint die Lösung so obszön zu sein, dass ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sehe.

Habs nochmal versucht, die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen, jedoch dabei mit dem a verwurstelt.

Der Lösungsweg mit der Determinante erscheint mir aber auch interessanter.

24.09.2008, 15:04

TheWitch

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Zu welchem Behufe hast du denn die Determinante berechnet? Und was sagt die Determinante über ein Gleichungssystem aus?

25.09.2008, 15:21

commander731

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Zitat:

Original von TheWitch
Zu welchem Behufe hast du denn die Determinante berechnet? Und was sagt die Determinante über ein Gleichungssystem aus?

Dachte vor meiner google-suche, dass "Behufe" irgendein mathematischer Ausdruck wär ;-)

Sie ordnet einer quadratischen Matrix eine Zahl zu.
Die Determinante habe ich berechnet, um damit herauszufinden, was für a herauskommen würde - dachte ich zumindest.
Wenn die Determinante gleich 0 ist, ist das LGS aber nicht lösbar.

In diesem Fall ist sie aber nicht 0, daher ist sie lösbar.. aber wie bekomme ich dann den Wert für a heraus?

25.09.2008, 16:04

TheWitch

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Aaaaaaaaaah ...

Du sollst ja gar keinen Wert für a rauskriegen. Du sollst nur zeigen, dass das Gleichungssystem immer eindeutig lösbar ist. Was du getan hast.

Merke: Man sollte nicht immer einfach nur drauflosrechnen, sondern sich zwischendurch mal vergewissern, was man eigentlich berechnen oder zeigen will.

(Und entschuldige bitte den "Behuf" - ich bin halt schon etwas antiquierter. :-))

25.09.2008, 16:29

commander731

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Vielen dank!

Man merkt, dass ich bisher nicht viel mit derartigen Aufgabentypen zu schaffen hatte..

25.09.2008, 19:48

TheWitch

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Jeder fängt mal klein an. :-)

Aber nun - da du hast, was du haben solltest - noch ein klein wenig Kür bzw. Präzisierung.

Dieser Satz

Zitat:

Original von commander731
Wenn die Determinante gleich 0 ist, ist das LGS aber nicht lösbar.

ist so nicht ganz richtig, er muss heißen

"Wenn die Determinante gleich 0 ist, ist das LGS aber nicht eindeutig lösbar.".

Im Falle, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, ist die Determinante nämlich auch gleich 0. Umgekehrt gesagt: Ist die Determinante gleich 0, hat das Gleichungssystem keine Lösungen oder unendlich viele Lösungen.

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