algebraische Zahlentheorie Hauptideal ZPE

Neue Frage »

Oktober0310 Auf diesen Beitrag antworten »
algebraische Zahlentheorie Hauptideal ZPE
bin kurz vorm verzweifeln....

Aufgabe
Let R be a principal ideal domain, and x, y € R. Prove that x and y are coprime if and only if there does not exist a prime element of R that divides both x and y. Show that this statement is incorrect if “principal ideal domain” is replaced by “unique factorization domain”.

Hallo zusammen,

ich studiere gerade im Ausland alg. Zahlentehorie, leider ohne Vorkenntnisse in abstrakter Algebra. Ihr könnt Euch sicher vorstellen, dass dies die Sache nicht einfacher macht Augenzwinkern

Kurz ein bisschen Literatur:

Coprime wurde wie folgt definiert:

Ideals I and J are said to be coprime if we have I+J = R for principal ideals I=Ra and J = Rb.

PID = Hauptidealring
UFD = faktorieller Ring

Ich glaube ich muss mir irgendwie zu Nutze machen, dass die PID eine Teilmenge der UFD ist, wo zusätzlich gefordert wird, dass es von nur einem Element erzeugt wird. Aber ich komm irgendwe nicht drauf... unglücklich

Wer noch eine Lösung vor 0200 Uhr hinkriegt dem spendier ich am 03.10. auf dem Oktoberfest ein Maß ! smile

VG Jonas
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Für den ersten Teil des Beweises:

Nimm an es gibt so ein Primelement, was kannst du daraus folgern?
Oktober0310 Auf diesen Beitrag antworten »

wenn es so ein primelement gibt, kann R kein Hauptidealring sein, da das ideal aus mehr als einem element besteht? wir haben aber eine PID ->es kann kein primelement geben

suche grad noch n gegenbeispiel dass dass für ZPE-Ringe nicht so sein muss
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Oktober0310
wenn es so ein primelement gibt, kann R kein Hauptidealring sein, da das ideal aus mehr als einem element besteht?


Den Teil verstehe ich nicht.
Wieso kann R dann kein HIR/PID sein?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »