Probleme mit Funktionsschar und zugehöriger Ortslinie |
| 23.09.2008, 14:24 | JBeats7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Probleme mit Funktionsschar und zugehöriger Ortslinie folgende Aufgabe: Ich soll den Funktionsterm der Ortslinie der Scheitelpunkte bestimmen. Meine Kurvenschar lautet: f t(x)=1/2x^2+2tx+1/t für t soll ich -2,-2,1 und 2 einsetzen.. Ich weiß, dass ich die Ortslinie mit dem Extrempunkt berechnen soll..bloß welchen Extrempunkt soll ich nehmen??? |
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| 23.09.2008, 14:26 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, Mit der Ortslinie ist wohl diejenige Linie gemeint, auf der alle Scheitelpunkte der Schar liegen. Hast Du den Scheitelpunkt schon allgemein bestimmt? |
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| 23.09.2008, 14:33 | JBeats7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein habe ich nicht. Kannst mir kurz erklären wie man das macht? 
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| 23.09.2008, 14:36 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Scheitelpunkt ist, wie Du richtig sagst, der einzige Extrempunkt der Funktion -- auch der einzige „potentielle“ Extrempunkt, d. h. nur dort ist die Steigung 0. Berechne einfach die Lösung von Damit erhältst Du die x-Koordinate des Punktes. Und diesen Wert setzt Du dann für x in die Funktionsvorschrift ein, um die zugehörige y-Koordinate zu erhalten. |
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| 23.09.2008, 14:51 | JBeats7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok verstanden..aber was mache ich mit t? setze ich für t dann irgendeinen wert ein? |
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| 23.09.2008, 14:54 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, t ist ja der Parameter der Schar. Wenn Du dafür eine bestimmte Zahl einsetzen würdest, dann würdest Du Dir eine einzelne Funktion der Schar herausgreifen. Und damit kommst Du nicht weiter. Kannst Du Deine Ergebnisse schonmal aufschreiben? Also x- und y-Koordinate der Punkte? |
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| 23.09.2008, 14:57 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und aus diesem Grund musst du aus der Darstellung für die Extrempunkte x = x(t) y = y(t) ------------ den Parameter t eliminieren. mY+ |
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| 23.09.2008, 15:00 | JBeats7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also für x habe ich -2t raus..aber dann habe ich ein problem, wenn ich diesen wert in f t(x) einsetze: 0=-2t^2+1/t ..dann habe ich ja mehrere ergebnisse für y!? |
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| 23.09.2008, 15:05 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also Dein erstes Ergebnis ist richtig: Diesen Wert setzt Du dann für x in die Vorschrift der Ursprungsfunktion ein. Denn Du suchst ja die y-Koordinate eines Punktes, der auf dem Graphen von ft liegt. @ mYthos: Ich wollte gleich eine Substitution machen. Ist daran irgendwas falsch? 
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| 23.09.2008, 15:10 | JBeats7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja habe ich ja gemacht, aber ich bekomme für y nicht nur einen wert..s.o. |
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| 23.09.2008, 15:11 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das kann ja nicht sein, Funktionen ordnen jeder Stelle genau einen Funktionswert zu. Zu berechnen ist // edit: Du hast das Ergebnis eben nicht in die Ursprungsfunktion eingesetzt, sondern irgendwie in die Gleichung ft(x) = 0. 
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| 23.09.2008, 15:30 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, aber es geht wesentlich schneller, wenn aus x = -2t das t zu t = -x/2 berechnet und in y(t) eingesetzt wird 
. Kannst du mir da zustimmen?mY+ |
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| 23.09.2008, 16:09 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach so, ich berechne also direkt (o ist die Funktion zur Ortslinie) Klasse Tipp! 
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| 23.09.2008, 16:26 | JBeats7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich bekomme für t aber zwei ergebnisse: +/- wurzel(1/2t) bitte rechnet mir das vor |
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| 23.09.2008, 16:27 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wäre schön, wenn Du zuerst sagst, was Du überhaupt gerechnet hast.
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| 23.09.2008, 16:33 | JBeats7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja ich bei der ursprungsgeraden für x mein ergebnis von zuvor eingesetzt: f t(-2t)=1/2*(-2t)^2+2t(-2t)+1/t =2t^2-4t^2+1/t 2t^2=1/t t^2=1/2t ..und dann meine 2 ergebnisse |
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| 23.09.2008, 16:41 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also bis zu ist alles richtig. Dann fängst Du aber plötzlich an, die Gleichung nach t umzuformen. Warum? |
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| 23.09.2008, 16:42 | JBeats7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja was soll ich denn stattdessen machen? |
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| 23.09.2008, 16:54 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast die Koordinaten der Scheitelpunkte in Abhängigkeit vom Parameter t: Die Scheitelpunkte sind die Punkte eines Funktionsgraphen, d. h. es gibt eine Funktion O mit Jetzt musst Du diese Funktion nur noch in der Standardform angeben: Ersetze -2t durch x. Und drücke bei dem Funktionswert dann auch entsprechend t über x aus. [Es wäre auch schneller gegangen -- sieh Dir später mal mYthos Hinweis an] // edit: Und so sieht das Ergebnis dann aus: [attach]8674[/attach] (die rote Linie ist die Ortslinie, die Parabeln sind die Graphen einzelner Funktionen der Schar) |
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| 23.09.2008, 19:38 | JBeats7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok dann..: x=-2t t=1/2x -> einsetzen in y-wert y=-2(1/2x)^2+(1/0,5) =-2x^2+2 richtig?? |
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| 23.09.2008, 19:41 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Leider nicht. Zuerst ein Vorzeichenfehler: Und dann hast Du beim Einsetzen in den Term 1/t das x vergessen. |
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| 23.09.2008, 19:47 | JBeats7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
neuer versuch: y=-2*(-x/2)^2+1/(-x/2) =x^2+2/x |
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| 23.09.2008, 19:51 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da sind Dir wieder die Vorzeichen durcheinandergeraten. 
und |
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| 23.09.2008, 19:59 | JBeats7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok passt..endlich^^ danke für deine/eure hilfe! |
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| 23.09.2008, 20:03 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Als Probe kannst Du Dir ja mal ein paar Funktionen der Schar zeichnen lassen und den Graphen der Ortskurvenfunktion. Ansonsten siehe obige Skizze. |
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