Logarithmische Ableitung

27.05.2004, 14:32

m00xi

Logarithmische Ableitung

Hiho.
Ich habe eine Frage zur Logarithmischen Ableitung:
Wenn ich die Funktion $\begin{align*} f(x)=x^x \end{align*}$ habe, dann
sagt mein Buch, ich logarithmiere sie:
$\begin{align*} (ln(f(x))=x\ ln(x) \end{align*}$
Jetzt soll differenziert werden. Rechts kein Problem, ist klar, kommt $\begin{align*} ln(x)+1 \end{align*}$ bei raus. Wieso aber steht jetzt bei mir im Buch links nicht $\begin{align*} \frac{1}{f(x)} \end{align*}$ sondern $\begin{align*} \frac{f'(x)}{f(x)} \end{align*}$
Das leuchtet mir irgendwie nicht ein. Wahrscheinlich ein einfacher Grund aber ich habe da im Moment ein Brett vorm Kopf. Mein Buch setzt das einfach voraus. Kann mir das jemand mal beweisen, sonst fühl ich mich nicht gut dabei smile

Gruß
Hanno

27.05.2004, 14:38

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist links nach der Kettenregel zu differenzieren:

äußere Funktion = ln t
innere Funktion = f(x)

27.05.2004, 14:39

m00xi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah wunderbar, danke, da hätt ich auch selber drauf kommen können.
Wie kommt man eigentlich darauf, dass die ableitung von $\begin{align*} ln(x)=\frac{1}{x} \end{align*}$ ist ?!

Gruß und Dank
Hanno

Bitte keine Doppelposts, danke. Gruß,Thomas

27.05.2004, 17:33

Thomas

Auf diesen Beitrag antworten »

Kurzer Beweis (nebenbei):

http://www.od.shuttle.de/evb-1/node11.html

Gruß,
Thomas

27.05.2004, 17:35

m00xi

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, werd ich mir sofort mal ansehen.

Gruß
Hanno

27.05.2004, 17:37

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Logarithmische Ableitung
Probier es mal mittels Differentialquotienten:

$\begin{align*} \lim_{h \to 0} (f(x0 + h) - f(x0))/h \end{align*}$ .

Genaue Anleitung findest du sicher in einem deiner Bücher.

Wink

27.05.2004, 17:47

m00xi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Logarithmische Ableitung

Zitat:

Original von grybl
Probier es mal mittels Differentialquotienten:

$\begin{align*} \lim_{h \to 0} (f(x0 + h) - f(x0))/h \end{align*}$ .

Genaue Anleitung findest du sicher in einem deiner Bücher.

Wink

ALso den Link da habe ich wunderbar verstanden, aber deine Idee kann ich nich ganz nachvollziehen. Ich rechne mal soweit wie ich gekommen bin ( nich allzu weit :P )
$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \end{align*}$
$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{ln(x+h)- ln(x)}{h} \end{align*}$
$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{ln(\frac{x+h}{x})}{h} \end{align*}$
$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{ln(1+\frac{h}{x})}{h} \end{align*}$

Bin ich auf dem richtigen Weg?!
Ich will ja zu dem Ergebnis $\begin{align*} \frac{1}{x} \end{align*}$ , aber von dem sehe ich mich noch recht weit entfernt.

Gruß
Hanno

27.05.2004, 18:27

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Den letzten Bruch mit x erweitern und x/h nach dem dritten Logarithmus-Gesetz in den Exponenten ziehen. Und jetzt muß man eben wissen, daß lim[(1+s)^(1/s)] für s gegen 0 den Grenzwert e hat. (In einem anderen Thread hatten wir neulich den Spezialfall s=1/n mit n ganzzahlig gegen Unendlich).

27.05.2004, 18:32

m00xi

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ichwerde es mir mal aufschreiben und alles Notwendige nachlesen.

Gruß
Hanno

Neue Frage »

Antworten »

Logarithmische Ableitung

Verwandte Themen