Flächenintegral mit transformationssatz

23.09.2008, 19:01

ecutioner

Flächenintegral mit transformationssatz

hi @ll,

ich hänge grade an eine FlächenIntegral aufgabe, ich hoffe hier kann mir jemand helfen.
die frage lautet:
Berechnen Sie das FlächenIntegral $\begin{eqnarray*} \int_G (x^2+y)dA \end{eqnarray*}$ über das Dreieck G, das von den Punkten(0,0), (2,1),(0,1) gebildet wird, mit dem Transformationssatz für Integrale; Transformation des dreiecks auf das Dreieck, das von den punkten (0,0),(1,1) und (0,1) gebildet wird.

ich kenn den Transformationssatz: $\begin{eqnarray*} \int_o f(phi(x)) * |det(jacobimtrx( phi(x))|dx \end{eqnarray*}$

mein Problem ist nur wie bestimme ich die Matrix phi(x) anhand von der dreiecks-punkten und wie bestimme ich die Grenzen.

vielen dank im vorraus

23.09.2008, 20:30

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$\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ würde ich nicht als Matrix bezeichnen, sondern als Transformationsabbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , die eben das eine angegebene Dreieck in das andere überführt.

Wenn du dir die beiden Dreiecke mal aufmalst, sollte ohne größere Rechnung klar sein, wie diese Abbildung aussieht.

Allerdings ist mir nicht ganz klar, inwieweit diese Transformation die Aufgabe vereinfachen soll. Allenfalls dann, wenn das transformierte Integral euch schon bekannt ist - vielleicht aus einer früheren Aufgabe...

23.09.2008, 22:52

ecutioner

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also die aufgabe heißt danz genau so:

Berechnen Sie das FlächenIntegral $\begin{eqnarray*} \int_G (x^2+y)dA \end{eqnarray*}$ über das Dreieck G, das von den Punkten(0,0), (2,1),(0,1) gebildet wird, auf unterschiedliche Weise:

1. in Kartesichen Koordinaten. Integrationsreihenfolge:zuerst x dann y
Integrationsreihenfolge:zuerst y dann x
3. mit den transformationssatz für integrale; transformation des dreiecks auf das dreieck das von den Punkten (0,0),(1,1) und (0,1) abgebildet wird

4 durch Übergang zu polarkoordinaten

5.als Kurvenintegral mit hilfe des satzes von green

1m2 und 4 hab ich schon gelöst, ich hab aber meine probleme mit teilaufgabe 3 ich komm nicht drauf unglücklich

24.09.2008, 07:41

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Entweder siehst man es direkt, oder spätestens dann, wenn man die Dreiecke wirklich mal (!) in ein Koordinatensystem einzeichnet:

Die y-Koordinaten der Eckpunkte bleiben gleich, während sich die x-Koordinaten halbieren. Es handelt sich also um eine simple Streckung (hier besser gesagt Stauchung) in x-Richtung um den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , also um

$\begin{eqnarray*} \varphi(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{x}{2} \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wie gesagt, diese Transformation vereinfacht die Integration kein bisschen - aber wenn es die Aufgabensteller so wollen...

24.09.2008, 10:03

ecutioner

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vielen Dank jetzt hab ich´s verstanden.
aber kann´s sein dass der stauchungsfaktor 2 ist.
d.h meine phi(x,y) ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
weil da bekomm ich das richtige ergebniss: 11/3
meine genzen sind ja: x..1 dy und 0..1dx
ich kann nicht nachvollziehen wieso von x bis 1 und nicht von 0 bis 1!!!

verständnisfrage:
wie siehts eigentlich aus wenn ich das gebiet G auf ein RECHTECK transformieren muss, was muss ich da beachten??

vieln dank nochmal smile

24.09.2008, 10:15

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Zitat:

Original von ecutioner
aber kann´s sein dass der stauchungsfaktor 2 ist.
d.h meine phi(x,y) ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das kommt ganz drauf an, in welche Richtung dein $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ wirken soll. Ich hab's als die Richtung von

(0,0) , (2,1) , (0,1) ---> (0,0) , (1,1) , (0,1)

angesehen, du vielleicht in die andere Richtung. Das musst du selbst ausknobeln, was du nun mit $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ meinst.

24.09.2008, 10:25

ecutioner

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achso ok

also dann sieht´s so aus:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\int_{s}^{1}~8*s^2+2*t~dt~ds \end{eqnarray*}$

wobei x --> s und y-->t

ich kann aber nicht nachvollziehen warum meine innere grenze von s bis1 und nicht von 0 bis 1 geht

24.09.2008, 10:46

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Zitat:

Original von ecutioner
ich kann aber nicht nachvollziehen warum meine innere grenze von s bis1 und nicht von 0 bis 1 geht

Letzteres wäre ein Rechteck - genauer noch: ein Quadrat.

Du willst doch aber über das Dreieck mit den Eckpunkten (0,0),(0,1),(1,1) integrieren!
Also ist das mit der Integration von s bis 1 schon in Ordnung.

Wie ich schon sagte: Im Zweifelsfall wirklich mal im Koordinatensystem aufmalen, das hilft. Augenzwinkern

24.09.2008, 10:49

ecutioner

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ok dankeschön

Wink

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