Frage zu zyklischer Gruppen bzgl. des Erzeugers

23.09.2008, 19:33

blub85

Frage zu zyklischer Gruppen bzgl. des Erzeugers

Servus!!

Im Netz findet man öfter, dass {-1} und {+1} Erzeuger der Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z},+) \end{eqnarray*}$ sind... Das verstehe ich nicht ganz, wäre nett, wenn ihr mich gedanklich dort abholen könnt, wo ich feststecke Augenzwinkern

Ich schildere Euch meine Gedanken:

Die Definition des Erzeugnis (in kurz) ist ja $\begin{eqnarray*} <X>:= \cap \{U | \text{ ist Teilmenge von U und U ist Untergruppe von G}\} \end{eqnarray*}$

G sei in diesem Fall meine gegebene Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z},+) \end{eqnarray*}$ .

Eine Untergruppe U ist eine Teilmenge U von G, für die gilt: $\begin{eqnarray*} \forall u,v \in U: u \dot v \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall u \in U: u^{-1} \in U \end{eqnarray*}$ .

Überlege ich mir jetzt mal Untergruppen von G, komme ich zB auf

$\begin{eqnarray*} U_0 = \{0\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_1 = \{-1,0,1\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_2 = \{-2,0,2\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_3 = \{-2,-1,0,1,2\} \end{eqnarray*}$
usw.

Das Erzeugnis von {+1} ist ja die Schnittmenge aller Untergruppen von G, die +1 enthalten... Diese Schnittmenge muss $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ sein, habe ich recht?? sonst wärs ja kein Erzeuger...

Wenn ich meine ganzen Mengen (U_0, U_1, usw.), die die +1 enthalten aber miteinander schneide, erhalte ich für mich nur {+1}.

Wo ist mein Fehler??

Es wäre nett, wenn Ihr mir das mal erklären könntet, habe mir viel arbeit gemacht das alles hier hinzuschreiben....

Danke!!

P.S.: die ganzen edits nur, weil synthaxfehler im latex waren, jetzt stimmt alles.. sorry!

23.09.2008, 20:45

irre.flexiv

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Das Problem ist das deine Mengen keine Gruppen sind. Jedenfalls alle außer $\begin{eqnarray*} U_0 \end{eqnarray*}$ .

23.09.2008, 21:30

blub85

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warum denn?? Nehmen wir zB U_1

so gilt doch die Gruppenbedingung, dass jedes Element sein Inverses in der Gruppe hat (-1 hat das inverse El. +1 und umgekehrt), das neutrale Element bzgl. der Addition (0) ist auch enthalten und dass $\begin{eqnarray*} x \cdot x^{-1} = e \end{eqnarray*}$ gilt, hier dann: $\begin{eqnarray*} -1 + +1 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} +1 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

wo ist mein fehler?

23.09.2008, 21:35

system-agent

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Und was ist $\begin{eqnarray*} 1+1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ ?

23.09.2008, 21:49

blub85

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mh, stimmt das ist nicht in der Gruppe mit drinnen... *überleg* dachte, die Bedingungen zählen nur für 2 verschiedene Elemente einer Gruppe.

Ist das dann so, dass es nur zwei Untergruppen von G gibt?? einmal

U_0 = {0} und
U_1 = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} = $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

und da die 1 (und auch die -1) nur in U_1 enthalten sind, ist sie Untergruppe und somit (mit der Formel des Erzeugnisses) auch Erzeugnis für die beiden Zahlen?!

danke für deine hilfe!! so langsam kapier ich das alles... Freude

23.09.2008, 21:57

Romaxx

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Zitat:

Ist das dann so, dass es nur zwei Untergruppen von G gibt

Nein. $\begin{eqnarray*} 2\mathbb Z=\{2z|z\in\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$

24.09.2008, 09:47

blub85

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ich weiß, dass mathematiker gerne an worten sparen, aber das war zu kurz...

ich versteh die gleichung nicht... wäre ganz nett wenn mir einer meinen Fehler/Lücke erklären könnte!!

ich hab in 6 tagen mathe vordiplom (als informatiker) und würde gern das Thema zyklsiche Gruppen damit abschließen. Augenzwinkern

danke für Eure hilfe!

24.09.2008, 09:53

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Zitat:

Original von blub85
ich versteh die gleichung nicht... wäre ganz nett wenn mir einer meinen Fehler/Lücke erklären könnte!!

Du hast gesagt: Es gibt nur zwei Untergruppen von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z},+) \end{eqnarray*}$ .

Romaxx hat dir das Gegenteil bewiesen, indem er einfach eine weitere Untergruppe genannt hat - so einfach ist das. Manchmal bedarf es eben nicht vieler Worte. Augenzwinkern

24.09.2008, 10:30

blub85

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okay, du hast ja recht.. Augenzwinkern

aber ein "das ist noch ne weitere Untergruppe" hätts auch getan.... smile

also, um nochmal meine Gedanken zu sammeln:

$\begin{eqnarray*} U_0 = \{0\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_1 = 1 \cdot \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_2 = 2 \cdot \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_3 = 3 \cdot \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_4 = 4 \cdot \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$
usw.

das sind alles Untergruppen der G. Wenn ich nun auf diese Untergruppen meine Definition des Erzeugnisses loslasse, dann komme ich am Ende darauf, dass +1 und -1 ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ erzeugen.

habe ich recht? smile

24.09.2008, 11:28

Romaxx

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RE: Frage zu zyklischer Gruppen bzgl. des Erzeugers
Hallo,

$\begin{eqnarray*} \langle X\rangle= \cap\{U | X\subseteq U, U\leq G\} \end{eqnarray*}$

lautet die Defintion.

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist die einzige Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ enthält, das sollte klar sein.
Nun ist doch klar:

$\begin{eqnarray*} \langle \{1\}\rangle= \cap \{U | \{1\} \subseteq U, U \leq G\}=\cap \{\mathbb Z\}=\mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \langle \{-1\}\rangle= \cap \{U | \{-1\} \subseteq U, U \leq G\}=\cap \{\mathbb Z\}=\mathbb Z \end{eqnarray*}$

28.09.2008, 13:59

blub85

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danke, das habe ich verstanen... jetzt tut sich mir noch eine weitere Frage auf bzgl. der Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Q},+) \end{eqnarray*}$

ERstmal komme ich nicht ganz auf die Untergruppen..

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ selbst ist ja definiert mit:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q := \{\frac{a}{b}|a,b \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

Eine Untergruppe wäre doch sicher:

$\begin{eqnarray*} U_1 = \{\frac{a}{1}|a \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

eine weitere

$\begin{eqnarray*} U_2 = \{\frac{a}{2}|a \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

aber

$\begin{eqnarray*} U_3 = \{\frac{1}{a}|a \in \mathbb{R} \text{ohne} \{0\}\} \end{eqnarray*}$

ist auch eine, oder?!

Wie könnte ich denn -relativ übersichtlich- die Menge aller Untergruppen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ definieren?!

Und dann noch eine zweite Frage: Wie sieht denn ein Erzeuger von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ aus? bzw. der minimale Erzeuger?!

Danke für Eure Hilfe!!

28.09.2008, 18:01

Cordovan

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ selbst ist ja definiert mit:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q:=\{\frac{a}{b}|a,b\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$

Hm? Was ist mit $\begin{eqnarray*} a=\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ ?

Cordovan

28.09.2008, 19:10

blub85

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Pi ist doch ne reele Zahl....! die ist also mit a \in R mit einbegriffen?!?

aber geholfen hast du mir auch nicht wirklich mit deiner antwort......

28.09.2008, 19:14

kiste

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Zunächst einmal musst du auch eine Verknüpfung angeben, nur $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ reicht nicht.
Dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nicht zyklisch, es findet sich also kein Erzeuger.

Und zu guter letzt ist $\begin{eqnarray*} \pi \not\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

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