Aufgabe zu implizite Funktionen

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pingu Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu implizite Funktionen
Hallo zusammen,

ich hab da eine Aufgabe, werde aber nicht so ganz schlau aus der.

Es steht geschrieben:

Gegeben sei die Gleichung (2)
Finde Funktionen
x -> y := f(x); die durch (2) implizit definiert sind, und bestimme deren Definitionsbereiche.

Bei impliziten Funktionen ist es ja oft so, dass man von Hand aus nicht eine Variable ganz alleine auf eine Seite kriegt. Ich hab das so verstanden, dass man, wenn man das x oder das y festnagelt, die andere Variable ausrechnen kann, die sich dann dementsprechend an die gesetzte anpasst.
Jetzt steht da man solle Funktionen finden. Kann ich da also einfach für x eine Funktion, beispielsweise cos(x), einsetzen und y danach anpassen?

lg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das wäre nicht richtig. Die Aufgabe besteht vielmehr, explizite Funktionen aus der impliziten Gleichung herauszurechnen. Das heisst, die Gleichung nach y aufzulösen. Dabei kommt es zu mehreren Lösungen (hier 2), die im Gesamten - mit der entsprechenden Definitionsmenge - den vollständigen Graphen (Kegelschnitt, Funktion 2. Ordnung) ergeben. Wenn man eine HAT (Hauptachsentransformation) durchführt, gelangt man ebenfalls zu dieser Kegelschnittslinie.

mY+
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Hm... ok, aber eben hier hab ich das Problem, dass ich y nicht allein rauskriege. Also ich würde dann das bekommen:






Aber das kann man ja nicht wirklich nach y augelöst nennen... Oder gibt es da einen Trick, wenn 2 Variablen so aneinander gekoppelt sind?

lg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

So geht es natürlich nicht!
Das ist doch eine quadratische Gleichung in y. Und wie man quadratische Gleichungen löst, weißt du sicher.
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Ah stimmt^^. Das hab ich jetzt total übersehen. Gut, dann würde ich folgendes tun:

, die 3 steht für das a, die -8 für das b und für das c.

Dann füge ich die Komponenten also in die Gl. ein und erhalte , das kann ich jetzt noch schöner umformen.
. Ist das nun so korrekt und sind das die 2 Fkt.'en, die mythos angesprochen hat?


lg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden Funktionen ergeben sich aus den beiden Vorzeichen vor der Wurzel. Das hat auch mythos gemeint.

Bei b ist dir ein Fehler unterlaufen. Was steht denn vor dem y?
 
 
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Hoppla, ja du hast Recht. b ist natürlich -8x. Das würde dann auch ein anderes y geben.







Das würde in dem Falle bedeuten, dass die Fkt. einen imaginären Anteil hat.

lg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist es dir denn gelungen, das x aus der Wurzel herauszuziehen? Nach den üblichen Regeln geht das nicht!
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Ah verdammt, natürlich! Solche Fehler mach ich normalerweise nicht, bin wohl unbewusst iwie mit dem Kopf nicht ganz bei der Sache. *ärger* Hammer




Ausklammern:





So! Aber jetzt sollte/muss es stimmen!

Lg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt ist alles korrekt! Freude
Bleibt nur noch der Definitionsbereich zu bestimmen, was nicht schwer ist.
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Der Def.bereich im Reellen wäre
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Und noch mal: Freude

Kleiner Tipp: Der Formeleditor kennt auch
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, werde ich zunkünftig benutzen. Danke für deine Hilfe smile
pingu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu implizite Funktionen
Hallo,

eine kleine Frage hätte ich jedoch noch. Wie müsste ich vorgehen, wenn jetzt nicht sondern beispielsweise dastehen würde?

Also so:
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu implizite Funktionen
Im Prinzip genauso. Nur wäre dann eine kubische Gleichung zu lösen. Das geht formelmäßig. Die Formeln sind aber schon etwas kompliziert. An der Schule lernt man das heute nicht mehr und auch nicht zwangsläufig an der Universität. In der Praxis wird man das kaum von dir verlangen. Wenn du neugierig bist, kannst du dich in der Wikipedia und sonst im Internet informieren.

edit:
besser in der englischen Wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation
pingu Auf diesen Beitrag antworten »

ok, sehr gut. Vielen Dank!
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