Parameterdarstellung Hyperboloid

23.09.2008, 22:43

pingu

Parameterdarstellung Hyperboloid

Hi,

ich hätte da ne Frage. Ich muss eine Paramterdarstellung zu einem Hyperboloiden machen und bin aber nicht sicher, ob meine Lösung stimmt.

Ich habe Zylinderkoordinaten gewählt und mir überlegt, dass auf die xy-Ebene pojiziert, immer verschieden grosse Kreise entstehen. Je weiter sich also die Kreise der z-Achse entlang vom Nullpunkt entfernen, desto grösser werden sie.

Den Einheitskreis kann man ja mit $\begin{eqnarray*} sin\phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos\phi \end{eqnarray*}$ darstellen. Also hab ich für die erste Komponente $\begin{eqnarray*} cos\phi \end{eqnarray*}$ gewählt (wie das auch bei Zylinderkoordinaten der Fall ist) und für die zweite $\begin{eqnarray*} sin\phi \end{eqnarray*}$ . Dann hab ich mir überlegt, dass die Kreise durch einen Parameter grösser bzw kleiner werden müssen. Also hab ich z (die 3. Komponente)
gleich t gewählt und jeweils $\begin{eqnarray*} cos\phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin\phi \end{eqnarray*}$ noch mit t im Betrag multipliziert.

Da $\begin{eqnarray*} cos\phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin\phi \end{eqnarray*}$ periodisch sind, werden sie immer einen Kreis zeichnen, der aber durch die Variation von t grösser bzw kleiner wird, je positiver bzw negativer z wird. Damit der Kreis nicht negativ werden kann (weiss gar nicht so genau, was bei einem negativen Radius passieren würde;-) ), habe ich t da jeweils im Betrag gewählt.

Mein Parameter ist also t und ich lasse ihn von -unendlich bis unendlich laufen.

Dabei kommt das raus: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \mid t\mid cos\phi \\ \mid t\mid sin\phi \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

24.09.2008, 19:05

Abakus

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RE: Parameterdarstellung Hyperboloid
Wenn du von der Formel in x, y, z für das Hyperboloid ausgehst, brauchst du zur Kontrolle eigentlich nur noch einsetzen.

Die Formeln sind:

- einschalig: $\begin{eqnarray*} ~\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \end{eqnarray*}$

- zweischalig: $\begin{eqnarray*} ~\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1 \end{eqnarray*}$

Möglicherweise denkst du an einen Doppelkegel (der ein Grenzfall zwischen den beiden obigen Fällen ist), soll es sowas sein? Deine Bereiche für die Parameter solltest du definieren, die Betragstriche bei dem t machen wenig Sinn.

Grüße Abakus smile

24.09.2008, 19:13

pingu

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Wie meinst du das mit dem Bereich, ich dachte ich hätte ihn angegeben...

Zitat:

Mein Parameter ist also t und ich lasse ihn von -unendlich bis unendlich laufen.

Was ist denn an meiner Überlegung genau falsch?

lg

24.09.2008, 19:30

Abakus

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Deine verbale Angabe von dem Bereich hab ich überlesen, entschuldige. Mir schwebte hier die Angabe als Intervall vor.

Die Frage ist hier, wie dein Hyperboloid aussehen soll; was du da als Parameterdarstellung hast, ist ein Doppelkegel. Reicht dir das?

Grüße Abakus smile

24.09.2008, 22:19

pingu

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RE: Parameterdarstellung Hyperboloid
Ah, ich glaube, ich weiss, was du meinst. In meinem Fall ist es so, dass 2 Kegel mit der Spitze zueinander stehen, d.h., dass im Nullpkt der Durchmesser des Körpers minimal (vllt sogar gleich 0, bei dieser Aussage bin ich mir nicht ganz sicher) ist. Der Hyperboloid sieht zwar ähnlich aus, ist aber nicht so schlank. War das mein Überlegungsfehler?

Sonst wüsste ich nämlich, wies jetzt geht. Ich habe es mit einem einschaligen Hyperboloid zu tun. Für x,y und z müsste ich also einfach die entsprechenden Zylinderkoordinaten einsetzen, um so dann auf die Parameterisierung zu kommen.

lg

25.09.2008, 19:50

Abakus

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RE: Parameterdarstellung Hyperboloid
Für einen Doppelkegel (den du hier wohl beschreiben willst) hättest du folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} ~\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \end{eqnarray*}$

Natürlich gibt es weitere Darstellungen, zB siehe hier.

Wenn du eine Parameterdarstellung hast, kannst du diese immer durch Einsetzen in obige Formel überprüfen. Insgesamt richtig gedacht, nur nenne es Doppelkegel und nicht unbedingt Hyperboloid dann.

Grüße Abakus smile

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