Lösung von Trig. Funktionen

24.09.2008, 13:01

Maddy

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Lösung von Trig. Funktionen

Hallo

Ich bräuchte mal Hilfe bei einer Aufgabe Big Laugh

Big Laugh

Also nicht wirklich hilfe, sonder nur ein Hinweis.

Also man muss die Tiefpunkte bestimmen (wie man das macht weiß ich und wie man es beweißt auch).

Also meine Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x + cos(\pi x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 - \pi cos(\pi x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) - \pi^{2} sin(\pi x) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich ja $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist auch nicht wirklich schwer, mein problem ist allerdings das $\begin{eqnarray*} (\pi x) \end{eqnarray*}$ hinter dem cos. Ich weiß noch das ich es während dem 0 setzen auf jedenfall irgendwie "entfernen" muss, aber später wieder irgendwie dazu zählen :-/

Jemand nen Tipp?

Danke

24.09.2008, 13:05

TheWitch

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Das Stichwort ist "Substitution". Setze $\begin{eqnarray*} \pi x = z \end{eqnarray*}$ .

24.09.2008, 13:24

Maddy

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Hmm achso ok *g* Doch wie bring ich das dann später wieder in die Rechnung mit ein?

$\begin{eqnarray*} 1 - \pi cos(\pi x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 - \pi cos(z) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - \pi cos(z) = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(z) = \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

Doch wie dann weiter?

Steh leider ziemlich auf dem Schlauch und hab die alten Unterlagen nicht mehr unglücklich

unglücklich

Ich hab irgendwie was in dunkler Erinnerung das ich die Substitution irgendwie multiplizieren oder dividieren muss :-/ Kann das sein?

Danke

24.09.2008, 15:20

TheWitch

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Du musst jetzt zunächst mal nach z auflösen.

24.09.2008, 19:46

Maddy

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Hmm sorry für die Frage, aber wie lös ich da jetzt nach z auf? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} cos (z) = \frac{1}{\pi } \end{eqnarray*}$

Und naja durch cos teilen geht ja nicht Big Laugh

Big Laugh

Also leider hab ich echt keine Ahnung unglücklich

unglücklich

Danke

24.09.2008, 20:58

TheWitch

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$\begin{eqnarray*} z = arccos ~\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

Für den Fall, dass du mit "arccos" nichts anfangen kannst, weil ihr das so nicht gemacht habst, dann gib $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ in den Taschenrechner ein und drücke $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} ~cos^{-1} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}~\text{inv cos}~ \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}~ \text{shift cos}~ \end{eqnarray*}$ (je nach Taschenrechnermodell).

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25.09.2008, 22:25

Maddy

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Hmm da bekomme ich dann 1,247 raus, kann das sein?

Aber ehrlich gesagt haben wir das in der Schule schon anders gemacht, komm damit jetzt irgendwie ziemlich durcheinander :-/

25.09.2008, 22:43

riwe

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RE: Lösung von Trig. Funktionen

Zitat:

Original von Maddy
Hallo

Ich bräuchte mal Hilfe bei einer Aufgabe Big Laugh

Big Laugh

Also nicht wirklich hilfe, sonder nur ein Hinweis.

Also man muss die Tiefpunkte bestimmen (wie man das macht weiß ich und wie man es beweißt auch).

Also meine Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x + cos(\pi x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 - \pi cos(\pi x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) - \pi^{2} sin(\pi x) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich ja $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist auch nicht wirklich schwer, mein problem ist allerdings das $\begin{eqnarray*} (\pi x) \end{eqnarray*}$ hinter dem cos. Ich weiß noch das ich es während dem 0 setzen auf jedenfall irgendwie "entfernen" muss, aber später wieder irgendwie dazu zählen :-/

Jemand nen Tipp?

Danke

wenn das die ableitungen sein sollen, dann stimmen sie nicht unglücklich

unglücklich

26.09.2008, 12:29

Maddy

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Ja stimmt, cos und sin verwechselt :-/

Hmm ja falsch alles *g*

Also die erste Ableitung lautet:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 - \pi sin(\pi x) \end{eqnarray*}$

Das dann aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} sin (z) = \frac{1}{\pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = arcsin \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

Das gibt dann 0,324. Doch irgendwas muss ich doch jetzt noch mit dem $\begin{eqnarray*} (\pi x) \end{eqnarray*}$ machen.

Meine Überlegung wäre ja beides gleichzusetzen, also $\begin{eqnarray*} 0,324 = \pi x \end{eqnarray*}$ und eben nach x auflösen.

Das würde dann 0,1031 und laut meinem Taschenrechner wäre das sogar ein Hochpunkt (Klar muss ich noch beweisen, aber ich sehs ja grade). Doch wie bekomme ich jetzt die anderen Punkte *g* Hab da auch noch was in Erinnerung das man immer $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ dazu zählen oder abziehen muss. Doch ich komm nich auf die Zahlen im Taschenrechner :-/

Muss ich bei dem Ergebnis denn jetzt von der Sinus oder Kosinus berechnung ausgehn? Weil Sinus is ja im 1. + 2. positiv und im 3. und 4. negativ, und Kosinus ja im 1. und 4. postiv und 2. und 3. negativ.

Ich denk eher von Sinus. Doch wie? ich muss ja mit der 0,1031 weiterrechnen. Also z. B. $\begin{eqnarray*} \pi - 0,1031 \end{eqnarray*}$

Oder lieg ich da ganz falsch? Das $\begin{eqnarray*} (\pi x) \end{eqnarray*}$ muss ich ja trotzdem weiterhin beachten, oder nicht?

Hoffentlich versteht man was ich meine *g*

Danke

26.09.2008, 14:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Maddy
$\begin{eqnarray*} sin (z) = \frac{1}{\pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = arcsin \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

Das Problem sitzt an dieser Stelle. Die Umformung von der ersten zur zweiten Gleichung ist keine Äquivalenzumformung. Jetzt erinnern wir uns mal daran, daß der Sinus achsen-symmetrisch zu x=pi/2 ist. Wenn wir nun $\begin{eqnarray*} z_1 = arcsin \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ setzen, dann ist also $\begin{eqnarray*} sin(z_1) = \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin(\pi - z_1) = \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} z_2 := \pi - z_1 \end{eqnarray*}$ haben wir also 2 Lösungen im Intervall [-pi; pi). Jetzt mußt du nur noch auf jede Lösung ganzzahlig Vielfache von 2*pi addieren, und du hast die Lösungsmenge beisammen.

27.09.2008, 13:00

Maddy

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Hallo

Naja irgendwie klappt das nicht so richtig bei mir :-/ Ich krieg Werte raus die nicht sitmmen können und wenn ich zu denen noch was dazu addiere sind die Werte viel zu hoch :-/

Gruß

27.09.2008, 14:22

klarsoweit

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Ja da mußt du schon ein bißchen mehr verraten. Hellsehen kann ich nicht.

27.09.2008, 16:22

Maddy

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Ok mal als Beispiel smile

smile

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi } \end{eqnarray*}$ ist ja eine Lösung. Und jetzt 2*pi dazu addieren? Dieses "ganzzahlig Vielfache" bringt mich eher durcheinander :-/ Da würde ja irgendwas um 6,5 rauskommen und das wäre ja viel zu hoch.

27.09.2008, 17:20

Jacques

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} \tfrac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ ist keine Lösung, sondern $\begin{eqnarray*} \arcsin\left( \tfrac{1}{\pi} \right) \end{eqnarray*}$ . Weil die Sinusfunktion periodisch ist (mit der Periode 2pi), sind auch alle Zahlen der Form

$\begin{eqnarray*} n \cdot 2 \cdot \pi + \arcsin\left( \tfrac{1}{\pi} \right) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Lösungen der Gleichung.

Es gibt aber noch innerhalb einer Periode eine weitere Lösung neben arcsin(1/pi), nämlich

$\begin{eqnarray*} \pi - \arcsin\left( \tfrac{1}{\pi} \right) \end{eqnarray*}$

(wie von klarsoweit schon beschrieben)

Auch hier folgt aus der Periodizität, dass alle Zahlen der Form

$\begin{eqnarray*} n \cdot 2 \cdot \pi + \pi - \arcsin\left( \tfrac{1}{\pi} \right) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

die GLeichung lösen.

27.09.2008, 17:26

Maddy

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Ah ok danke Big Laugh

Big Laugh

Nun hab ichs ;-) Jetzt üb ich noch ein bisschen dann klappts sicher.

Danke für eure Hilfe smile

smile

27.09.2008, 17:30

Jacques

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Du kannst ja Dein Ergebnis noch eben aufschreiben. smile

smile

27.09.2008, 19:01

Maddy

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Also

z1 = 0,103
z2 = 0,897
z3 = 2,103
z4 = 2,897

z5 = - 1,103
z6 = - 1,897

Sind eben mal alle im Bereich von -pi bis pi Big Laugh

Big Laugh

28.09.2008, 05:06

Jacques

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Bis auf z4 dürften die Ergebnisse nicht stimmen. unglücklich

unglücklich

Schreibe am besten nochmal Deinen Rechenweg auf, irgendwo wird noch ein prinzipieller Fehler sein. Und runde die Ergebnisse nicht, erstens ist das nicht sehr sauber -- streng genommen sogar falsch --, und außerdem musst Du gleich mit den Lösungen weiterrechnen: Du prüfst die potentiellen Extrema ja jeweils darauf, ob sie auch das hinreichende Kriterium für Tiefpunkte erfüllen.

Ansonsten: Soll überhaupt nur ein bestimmtes Intervall auf Tiefpunkte untersucht werden? Denn andernfalls müsstest Du die Lösungen für z natürlich vollständig aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} L_z = \{ n \cdot 2\pi + \arcsin\left( \tfrac{1}{\pi} \right) \, | \, n \in \mathbb{Z} \} \cup \{ n \cdot 2\pi + \pi - \arcsin\left( \tfrac{1}{\pi} \right) \,|\, n \in \mathbb{Z} \} \end{eqnarray*}$

Weiter: Die Substitution war

$\begin{eqnarray*} z = \pi x \end{eqnarray*}$

Also erhältst Du die Lösungen für x, indem Du die z-Lösungen jeweils durch pi teilst:

$\begin{eqnarray*} L_x = \{ 2n + \arcsin\left( \tfrac{1}{\pi} \right) \cdot \tfrac{1}{\pi}\, | \, n \in \mathbb{Z} \} \cup \{ 2n + 1 - \arcsin\left( \tfrac{1}{\pi} \right) \cdot \tfrac{1}{\pi} \,|\, n \in \mathbb{Z} \} \end{eqnarray*}$

Und diese Ergebnisse jetzt in die zweite Ableitung einsetzen. smile

smile

// Korrektur

28.09.2008, 09:52

Maddy

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Zitat:

Original von Jacques
Bis auf z4 dürften die Ergebnisse nicht stimmen. unglücklich

unglücklich

Hmm warum nicht? verwirrt

verwirrt

Mein Taschenrechner zeigt mir sogar die gleichen Ergebnisse. Hab ja mit der Ableitung gerechnet, die richtige Funktion war ja:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x + cos(\pi x) \end{eqnarray*}$

Und nach der gibt es die Hoch- und Tiefpunkte.

28.09.2008, 10:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Maddy
Sind eben mal alle im Bereich von -pi bis pi Big Laugh

Big Laugh

Du hast da aber schon durch pi dividiert, so daß nur Lösungen im Intervall [1; -1) interessieren. Alle weiteren Lösungen ergeben sich durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von 2.

Zitat:

Original von Jacques
$\begin{eqnarray*} L_x = \{ 2n + \arcsin\left( \tfrac{1}{\pi} \right) \cdot \tfrac{1}{\pi}\, | \, n \in \mathbb{Z} \} \cup \{ 2n - \arcsin\left( \tfrac{1}{\pi} \right) \,|\, n \in \mathbb{Z} \} \end{eqnarray*}$

Kleiner Rechen- oder Schreibfehler:
$\begin{eqnarray*} L_x = \{ 2n + \arcsin\left( \tfrac{1}{\pi} \right) \cdot \tfrac{1}{\pi}\, | \, n \in \mathbb{Z} \} \cup \{ 2n + 1 - \arcsin\left( \tfrac{1}{\pi} \right) \cdot \frac{1}{\pi} \,|\, n \in \mathbb{Z} \} \end{eqnarray*}$

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