Eigenschaften von Graphen |
| 29.06.2006, 21:29 | Lanie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Eigenschaften von Graphen hab gleich noch mal ne Frage an euch. Und zwar soll ich mich für die mündliche Prüfung in Mathe auch mit den Eigenschaften von Graphen beschäftigen. Könnt ihr mir bitte helfen, welche es noch gibt? Bis jetzt hab ich:
mehr weiß ich nicht... Gruß und danke schon mal Lanie |
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| 29.06.2006, 21:59 | Licht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Steigung! |
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| 29.06.2006, 22:03 | matze_fratze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
graphen können neben extrema auch sprungstellen aufweißen. in diesen punkten sind sie dann nicht wirklich "sauber" definiert, oder besser gesagt, es kann keine tangente erklärt werden. oft interessiert es auch, ob ein graph konvex oder konkarv verläuft, und vorallem in welchen definitionsbereichen. das sind nur mal 2 dinge, die mir auf anhieb einfallen. aber wenn man graphen nur als unzureichende darstellung von funktionen betrachted, könnte man das thema wohl noch unglaublich ausweiten. hat jemand ne idee, ob man einem graphen die injektivität oder die surjektivität der zugehörigen funktion ansehen kann ??? das fänd ich mal lustig ... |
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| 29.06.2006, 22:03 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Polstellen, Nullstellen, Lochstellen, Unendlichkeitsverhalten Ich habe keine Ahnung, was du davon wirklich gebrauchen kannst, aber das kann man alles wunderbar untersuchen. Edit: Also die Surjektivität würde ja veraussetzen, dass du die gesamte Funktion gegeben hast, was aber bei deiner Vorstellung eines Graphen nicht der Fall ist, ansonsten schaust du einfach ob jede Gerade parallel zur y-Achse genau einen Schnittpunkt mit dem Graphen hast. Funktionen hingegen sind stets surjektiv. Injektivität kann man am Graphen erkennen, wenn jede Gerade parallel zur X-Achse maximal einen Schnittpunkt mit dem Graphen hat. Und wenn du eine Funktion gegeben hast, dann kannst du einfach annehmen, dass die Funktion nicht injektiv ist, also es ein und gibt, dass und Edit2:Ich habe gerade gesehen, dass ich surjektiv und bijektiv durcheinander gebracht habe |
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| 29.06.2006, 22:07 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
In welchem Rahmen steht denn diese Prüfung? Kannst du vielleicht die Funktionstypen eingrenzen? - e-Funktionen - ln-Funktionen - gebrochen rationale Funktionen - Polynomfunktionen - trigonometische Funktionen Gruß 
@ matze Wenn Du dich bei dem ansehen auf "Intervalle" beschränkst - jo vielleicht - aber Skizzen sind optische Täuschungen:-) Alles eine Frage des zooms. Aber z.b. siehst Du, dass f(x) = x² auf den Intervall [-1,1] offensichtlich nicht injektiv ist. Mit der Surjektivität ist das etwas diffiziler. Was Definierst Du als Bildraum? |
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| 29.06.2006, 22:13 | akechi90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jup, bei ner durchgehend stetigen Funktion kann man die Injektion einfach mittels der Extremstellen nachweisen. Wenn die Funktion Extremstellen hat, ist sie NICHT INJEKTIV! Aber eine Funktion ist IMMER SURJEKTIV, sonst wärs ja keine Funktion 
Wenn eine Funktion aber keine Extremstellen besitzt, muss man alle einzelnen stetigen Intervalle miteinander vergleichen, und schauen, ob die Intervalle der Funktionswerte sich schneiden oder berühren. Sollten sie es nicht tun, ist die Injektion nachgewiesen, und somit auch die Bijektion. EDIT: Hab nen Tippfehler korrigiert, und die Erklärung mit den Randstellen kommt später ^^ |
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| 29.06.2006, 22:26 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Tippfehler: man kann damit (im Allgemeinen) die Injektivität nachweisen Die Aussage ist falsch, wenn man Randextrema beachtet! f(x)=x auf dem Definitionsbereich [0,1] hat natürlich 2 Etrema, trotz offensichtlicher Injektivität. Jetzt habe ich das zweimal gelesen hier: Wieso sollte eine jede Funktion surjektiv sein? ist etwa keine Funktion? |
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| 29.06.2006, 22:30 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jede Funktion ist surjektiv, wenn man deren Zielmenge richtig wählt. Und wenn nicht, dann kann es natürlich auch nicht surjektive Funktionen geben, aber so etwas an einem Graphen zu erkennen ist schwer
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| 29.06.2006, 22:32 | akechi90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Natürlich, natürlich, Verzeihung ^^ Die Randstellen sollten natürlich auch dabei berücksichtigt werden, danke für den Hinweis. Aber die Surjektivität ist doch schon dadurch gegeben, dass unsere Definitionsmenge (die von x) auf eine andere Definitionsmenge, die von y, abgebildet wird. Demnach ist eine Surjektion vorhanden. Wenn wirs allerdings mit impliziten Funktionen zu tun haben, müssen wir schon schwerere Geschütze auffahren ^^ |
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| 29.06.2006, 22:33 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das stimmt nicht. Surjektiv heißt, dass bei einer Funktion für jedes Element ein Element existiert, so dass ist. nenn mir bei f(x) = sin x zum Beispiel mal das Urbild von 2. ?! - also ist sin x nicht surjektiv. ( außer du grenzt den Bildbereich auf [-1,1] ein ) |
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| 29.06.2006, 22:44 | Lanie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, einiges der genannten Dinge hab ich nicht verstanden... Also es geht in meinem Falle darum, dass ich als Thema hab "Bestimmung von Funktionsgleichungen bei vorgegebenem Graphen und deren Eigenschaften" das ganze im Zuge des Erwerbs der Fachhochschulreife. Wahrscheinlich wird es eine Polynomfunktion sein, im schlimmsten Falle eine e-Funktion, was ich aber nicht glaube, weil dies zu schwierig sein wird für ne Prüfung die nur 12 Min dauert. und jetzt meine Fragen: 
was ist surjektiv und was ist injektiv? Das hab ich nicht so wirklich verstanden in der Diskussion obebdrüber... Gruß |
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| 29.06.2006, 22:47 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die rote Aussage ist natürlich wichtig. Allerdings ist das keine Bedingung an eine Funktion und davon kann nicht ausgegangen werden. Auf den Bildbereich als Wertebereich eingeschränkt ist sie dann Surjektiv. Soweit habt ihr dann recht. Mit der blauen Aussage stirbt dann wohl auch diese Hoffnung, dass jemals sehen zu können. Wenn zu dem Graph noch zusätzlich die Zielmenge angegeben wird, dann kann man das sehen.
Spielereien, die uninteressant sind - man siehts einfach nicht.
ist damit auch falsch. Man nennt den Bereich der Bild-Werte übrigens normalerweise nicht mehr Definitionsbereich und das hat auch seinen Sinn. Der Name "Definitionsbereich" kommt ja wohl daher, dass man (falls möglich) meistens "alles einsetzt, was man kann" und das ist eben alles, wo diese "normalen" Funktionen definiert sind. Man kann natürlich auch "Urbildmenge und Bildmenge" dazu sagen, wobei eben oftmals nur der Urbildbereich richtig stark eingegrenzt wird und man eben auch gerne größere Zielmenge angibt; die Bildmenge ist dann (manchmal echte!) Teilmenge der Zielmenge (oder Wertemenge oder wie auch immer). |
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| 29.06.2006, 22:53 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du kannst trotzdem bei jedem gegebenem Funktionsgraphen behaupten, dass er surjektiv ist, wenn keine Zeilmenge angegeben ist. Denn die Prüfer können dir garantiert nicht das Gegenteil beweisen und im Zweifel kriegt eigentlich immer der zu Prüfende Recht, wenn sie nicht gerade die Antwort haben wollten, dass man es nicht sagen kann Edit: @lanie: Wikipedia erklärt die beiden Begriffe eigentlich sehr schön, am besten du schaust da einfach mal rein und wenn du etwas nicht verstehst, dann fragst du noch mal speziell nach Edit2
a ich jetzt keine Lust habe ine Diskusion mit dir anzufangen beantworte ich deinen Beitrag darunter einfach mal nicht
denn die Antwort hat nichts mehr mit dem Thema zu tun |
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| 29.06.2006, 22:58 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Tut mir leid, wenn das Offtopic wird, aber eine Frage wie "Ist xyz erfüllt?" hat eigentlich stets mindestens 3 mögliche Antworten: ja, nein, nicht entscheidbar in diesem Falle wäre "Nicht entscheidbar" richtig und beide anderen Antworten (ja, nein) wären falsch und das kann dir der Prüfer nachweisen
.Man kann das natürlich auf viele Arten sagen, "Es kann surjektiv sein, kann aber auch nicht sein, dass hängt vom Zielbereich ab" könnte ich mir zum Beispiel als Antwort auf eine solche Frage vorstellen. "Es ist surjektiv" ist eine unbegründete Antwort und mit der Begründung wird man sich halt schwer tun. |
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| 29.06.2006, 23:13 | Lanie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hab's mal auf Wikipedia nach gelesen, aber trotzdem noch Fragen 
also, heißt injektiv, dass es zu jedem X-Wert nur einen Y-Wert geben kann? Also es kein X1;X2;X3 usw geben kann? und surjektiv dann, dass es mehrere X-Wert zu einem Y-Wert geben kann und umgekehrt? Sorry, dass ich noch mal nachfragen muss, aber ich bin nicht so wirklich ein Talent, was Mathe angeht :-) |
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| 29.06.2006, 23:24 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
injektiv: zwei verschiedene Urbilder (x-Werte) werden auch auf unterschiedliche Bilder (y-Werte) abgebildet. Anders gesagt: Es wird kein y-Wert von zwei verschiedenen x-Werten "getroffen". surjektiv: jedes Zielelement wird getroffen. Z.B. ist f(x)=x^2 nicht surjektiv, wenn man es als Abbildung von IR nach IR angibt. Denn z.B. -1 wird nicht getroffen. Es ist auch nicht injektiv, denn z.B. werden 2 und -2 beide auf das gleiche Element abgebildet. |
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| 29.06.2006, 23:27 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
das was du geschreiben hast, ist gerade eine Funktion, dass nämlich jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeorndet wird. Die Injektivität kann man sich am besten as eine Umkehrung der Funktion vorstellen. Also eine Funktion ist injektiv, wenn du aus dem y-Wert den x-Wert berechnen kannst. Zum Beispiel wäre injektiv, da du aus sofort x schlussfolgern kannst. Hingegen die Funktion ist nicht injektiv, da du aus der Aussage nicht sagen kannst, ob x=-2 oder x=2 Edit:ganz dumme Rechenfehler berichtigt |
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| 29.06.2006, 23:33 | Lanie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich steh irgendwie immer noch auf dem Schlauch. Ansich habe ich ja jetzt verstanden, was es ist, aber sowas kann ich doch wenn ich nur das Schaubild vor Augen hab gar nicht sagen, oder? |
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| 29.06.2006, 23:39 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
mit der Surjektivität kannst du nichts sagen, wie ich und Loed schon eifrig herausgefunden haben
Aber die Injektivität kannst du am Schaubild bestimmen, denn wenn du bei jedem y-Wert nur einen Punkt des Graphen hast ist die Funktion injektiv. |
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| 29.06.2006, 23:42 | Lanie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aii, jetzt hat's geschnackelt 
Danke @Sciencefreak du bist ja schneller als die Feuerwehr |
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| 29.06.2006, 23:47 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eigentlich muss man hier aber nochmal unterscheiden: Du siehst natürlich immer nur, ob die Funktion auf dem gezeigten Aussschnitt injektiv ist. Siehst du zwei x-Werte mit gleichem y-Wert kannst du natürlich gleich auf Nichtinjektivität auf dem ganzen Bereich schließen. Ich glaube, das wurde oben auch schon angesprochen: ein Graph kann ein Funktion, die z.B. von ganz IR ausgeh natürlich niemals komplett darstellen. Das gleiche gilt übrigens auch für Monotonie und weiteres; was du siehst gilt immer nur für den Aussschnitt. Übrigens zu den von dir genannten Punkten
Die mit Fragezeichen markierten finde ich komisch, bzw. so wie sie da stehen unverständlich, was du genau meinst Sagt ihr wirklich "Pressung" statt Stauchung?
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| 29.06.2006, 23:58 | Lanie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, bei uns heißt das gedehnt oder gepresst
Ich meine mit Verschiebung auf der Y Achse, dass man ja sofort sieht, dass bei einer Funktion z.B. 3. Grades d gleich erkennen kann; d= 2 also um 2 auf der Y-Achse nach oben verschoben. und dieser Fall kann ja nur eintreten, wenn die Funktion nicht Punktsymmetrisch ist, denn eine punktsymmetrische Funktion geht ja immer durch den Ursprung. Weißt was ich mein? Mit endlich ist gemeint, dass eine Funktion die an die Tafel gemalt wurde, z.B. nicht immer von vorne herein eingeschränkt sein muss... Also könnte ich ja sagen, die Funktion ist endlich da eigeschränkt oder eben unendlich wenn nichts begrenzt wurde. Hoffe, dass war einigermaßen verständlich *g* |
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| 30.06.2006, 00:09 | akechi90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da dürfte ich doch einwerfen, dass die Definitionsmenge von x vollständig auf die Definitionsmenge von y abgebildet wird, neh?
Dabei werden zwar manche Punkte von y mehrmals getroffen, aber jeder Punkt x hat seinen Bildpunkt y innerhalb der jeweiligen Definitionsmengen. |
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| 30.06.2006, 00:14 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eine Funktion kann aber sowas von Punktsymmetrisch sein, ohne durch den Urpsrung zu gehen. Es gibt ja noch viele andere Punkte, zu der sie symmetrisch sein kann, oder? f(x)=x^3+1 z.B. ist symmetrisch zum Punkt (0/1). Der andere Punkt: Das ist übrigens das schöne (!?) an Graphiken: die Unendlichkeit wirst du da niemals drin finden. Das Schaubild wird dir immer nur endliche Funktionswerte anzeigen. Das einzige, was du natürlich über Unbeschränktheit tun kannst, sind Vermutungen aufstellen. Aber damit kann man natürlich auch falsch liegen. Würdest du z.B. nicht auch vermuten, dass diese Funktion gegen unendlich abhaut? Tatsächlich ist sie beschränkt. Wenn solche Dinge gefragt werden, halte ich es aber für relativ nett, solche Dinge zu erwähnen, dass also ein endlicher Aussschnitt über solche Dinge im Endeffekt NICHTS aussagen kann, dass man in vielerlei Hinsicht nur vermuten kann. edit @akechi: aber nicht jedes y des Zielbereichs muss ein Urbild haben. Da der Zielbereich gerne auch "zu groß" angegeben wird. |
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| 30.06.2006, 00:20 | akechi90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Angenommen, wir kennen der exakten y-Definitionsbereich, können wir klar auf eine Surjektion schließen. Und warum sollte bei einer Funktion(!!!) ein Punkt auf mehrere Bildpunkte abgebildet werden?! Außerdem, wenn du schon so argumentierst, dass er "gerne mal zu groß angegeben wird", dann bringst du menschliches Versagen ins Spiel. Und das gibt dir keine Auskunft über die y-Definitionsmenge. Mathematisch gesehen existiert immer eine klare Definitionsmenge für y, da ist es egal, wie sie angegeben wird. |
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| 30.06.2006, 00:21 | Lanie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
stimmt eigentlich, hab das aber extra noch mal in meinem Mathe Ordner nachgeschaut, wir haben aufgeschrieben, dass eine punktsymmetrische Funktion immer durch den Ursprung gehen muss! Da werd ich mal meinen Mathe Doc. mal drauf anhauen müssen, was er uns da wieder verzapft hat
Danke, ich hätte das jetzt voller Überzeugung behauptet, wenn's dran gekommen wäre
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| 30.06.2006, 00:29 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
nein nein und nochmals nein
Hat hier keiner behauptet und das darf nun wirklich NICHT passieren.
menschliches Versagen? bitte? hast du das wirklich gesagt?? menschliches Versagen gibt mir keine Aussage über die y-Menge? hÄ? Was ist denn "y-Menge" überhaupt? Wir unterscheiden hoffentlich beide immer noch "Bildmenge" (wenn mans auf die einschränkt, dann hast du deine Surjektivität, das habe ich bereits besteätigt) und "Zielmenge" (oder wie immer man das nennen mag). Es existiert eine "klare Definitionsmenge"? Es existiert eine eindeutige Bildmenge, aber das sagt trotzdem nicht nicht nicht, dass jede Funktion surjektiv ist. Ich vermute mir sind schon etwas mehr nichtsurjektive Abbildungen begegnet als man es Ausnahmen nennen könnte.
@Lanie: Die Bedingung, dass der Ursprung Kurvenpunkt sein muss, sollte vermutlich für den Fall Symmetrie zum Urpsrung gelten (also zu einem ganz besonderen Punkt). Aber nicht mal dann muss (0/0) Kurvenpunkt sein, beachte f(x)=1/x. Was richtig ist: ist die Funktion Punktsymmetrisch zum Ursprung und hat die Funktion an der Stelle 0 einen Wert, DANN muss dieser Wert 0 sein.
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| 30.06.2006, 00:38 | akechi90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Irgendwie hab ich das Gefühl, ich sollte mich echt schlafen legen, was ich jetzt auch tun werde... Zumindest meint meine Lehrerin, eine Surjektion existiert immer dann, wenn jeder Punkt von x einem Bildpunkt in y besitzt... Mit dem "menschlichen Versagen" meinte ich nur, wenn man eine Menge "gerne mal" zu groß angibt, kann man daraus trotzdem keine Aussage über den Wahrheitsgehalt des Satzes, dass jede Funktion surjektiv ist, ziehen. Der Definitionsbereich von y existiert nicht erst durch eine Angabe, sondern er existiert auch, ohne dass wir ihn angeben müssen. Also wird jeder Punkt der Definitionsmenge von y mindestens einmal getroffen. Wenn er nicht getroffen würde, kann er auch nicht zur Definitionsmenge gehören, ist doch logisch. So, und jetzt gehts ab in die Heia, gute Nacht allerseits ^^
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| 30.06.2006, 00:49 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Andersrum, wenn jedes y ein Urbild besitzt, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Surjektiv
Das siehst du aber zu absolut. Es kann oft vorkommen, dass eine Aussage vom Kontext abhängt. Analog: Hat die Funktion eine Nullstelle? Ja, hat sie, eine komplexe Nullstelle. Trotzdem bleibt die Aussage, dass die Funktion keine Nullstelle über hat, richtig. Du würdest entgegnen, dass man ja nur den falschen Körper angibt. So schwarz-weiß ist die Welt (leider? Gott sei Dank?) nicht - nicht einmal die mathematische Welt. Gruß vom Ben |
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| 30.06.2006, 01:13 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Frag deine Lehrerin bitte folgendes: warum wird der Ausdruck surjektiv überhaupt extra definiert? Surjektivität ist eine charakterisierende Eigenschaft von Funktionen, nach der Ansicht deiner Lehrerin (und der deinen, vielleicht aber auch nur deiner Ansicht nach, falls du sie nur missverstanden hast) ist es aber eine notwendige Eigenschaft von Funktionen. Insbesondere wären dann Aussagen wie "die Funktion ist surjektiv" genauso unnötig (weil selbstverständlich) wie "die Funktion bildet kein Urbild auf zwei Bildwerte ab". Vielleicht leuchtet dir das ein. edit: mit dem zu Bett gehen hats vorhin wohl bei uns beiden nicht geklappt, bist ja auch noch online.
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| 30.06.2006, 17:52 | akechi90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sry, hab das heute nochmal mit meiner Lehrerin besprochen, und wir haben ein klein wenig diskutieren müssen. Ihr hattet Recht ^^ |
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