Ableitung korrekt?

24.09.2008, 16:10

ostfriese1

Ableitung korrekt?

Hallo,

stimmt es so?:

$\begin{eqnarray*} f_t(x)=\frac{x^2+t-1}{x+1} \end{eqnarray*}$

Nach Quotientenregel steht bei mir...

$\begin{eqnarray*} f'_t(x)=\frac{x^2+2x-t+1}{x^2+2x+1} \end{eqnarray*}$

24.09.2008, 16:21

tmo

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Korrekt

24.09.2008, 16:28

ostfriese1

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Gut, danke. Wink

24.09.2008, 16:57

ostfriese1

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Würde sich bitte jemand die Mühe machen,meine 2. Ablt. zu überprüfen?

Ich habe dort...

$\begin{eqnarray*} f''_t(x)=\frac{2xt+2t}{(x^2+2x+1)^2} \end{eqnarray*}$

24.09.2008, 17:04

Dorika

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passt

24.09.2008, 17:05

Jacques

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Vielleicht noch als Tipp: Löse nicht alle Klammern sofort auf, teilweise (immer?) kann man ganze Faktoren einfach ausklammern und "wegkürzen".

24.09.2008, 17:05

ostfriese1

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Zitat:

Original von Dorika
Freude

passt

Danke.

24.09.2008, 17:26

ostfriese1

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Kann es sein, dass die ganz oben angegebene Ausgangsfunktion gar keine Extrema hat? verwirrt

24.09.2008, 17:28

Rare676

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Das kommt auf die Wahl von t an Augenzwinkern

24.09.2008, 17:30

ostfriese1

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Also, ich habe einmal für t=2 und t=-2 geguckt, da sehe ich kein Extremum....
Wo hat man denn eins? Wink

24.09.2008, 17:33

Dorika

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Du kannst einfach sdie pq Formel anwenden und bekommst dann
$\begin{eqnarray*} x.......=......\pm \sqrt{1+t-1} \end{eqnarray*}$

somit erkennst du $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$

24.09.2008, 17:38

Arbmosal

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Wenn sie kein Extrema hat bedeutet das, dass die Ableitung nie 0 ist oder dass an allen Nullstellen der ersten Ableigung auch die 2te Ableitung eine Nullstelle hat

Das is der Fall wenn der Zähler 0 ist.
Und du findest bestimmt ein t für das
$\begin{eqnarray*} f_t'(x)=x^2+2x-t+1 \end{eqnarray*}$
sowohl eine als auch 2 oder gar keine Nullstelle hat.
Was bedeutet das für die Extrema deiner Ursprungsfunktion?

MfG

24.09.2008, 17:38

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Man kann sich die Sache übrigens viel einfacher machen, wenn man sich die Ausgangsfunktion durch Polynomdivision passender zurechtlegt:

$\begin{eqnarray*} f_t(x) = x-1 + \frac{t}{x+1} \end{eqnarray*}$

Dann ist nicht nur die Asymptote für $\begin{eqnarray*} x\to\pm\infty \end{eqnarray*}$ zu sehen, sondern es geht auch die Berechnung von erster und zweiter Ableitung blitzschnell:

$\begin{eqnarray*} f_t'(x) = 1 - \frac{t}{(x+1)^2}, \qquad f_t''(x) = \frac{2t}{(x+1)^3} \end{eqnarray*}$

24.09.2008, 17:43

ostfriese1

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Man kann sich die Sache übrigens viel einfacher machen, wenn man sich die Ausgangsfunktion durch Polynomdivision passender zurechtlegt:

$\begin{eqnarray*} f_t(x) = x-1 + \frac{t}{x+1} \end{eqnarray*}$

Dann ist nicht nur die Asymptote für $\begin{eqnarray*} x\to\pm\infty \end{eqnarray*}$ zu sehen, sondern es geht auch die Berechnung von erster und zweiter Ableitung blitzschnell:

$\begin{eqnarray*} f_t'(x) = 1 - \frac{t}{(x+1)^2}, \qquad f_t''(x) = \frac{2t}{(x+1)^3} \end{eqnarray*}$

Aha!
Nur leider verstehe ich nicht,wie Du

a) die Ausgangsfunktion umgestellt hast

b) Was die Asymptote mit der Ablt. zu tun hat.

smile

24.09.2008, 17:52

Dorika

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1) Polynomendivision durchgeführt (Zähler durch Nenner dividiert)

2) Jetzt kannst du jeden Summanden einzelnd Ableiten, das geht leichter und du hast nicht mehr so lange Terme

lg

24.09.2008, 18:15

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Zitat:

Original von ostfriese1
b) Was die Asymptote mit der Ablt. zu tun hat.

Nicht viel. Augenzwinkern

Ich hab das mit der Asymptote nur erwähnt, weil eine solche Polynomdivision ja auch durchgeführt wird, um die Asymptote zu finden. Nicht immer alles mögliche in die Aussagen hereininterpretieren, was gar nicht da steht!

24.09.2008, 18:44

ostfriese1

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Zitat:

Original von ostfriese1

Zitat:

Aha!
Nur leider verstehe ich nicht,wie Du

a) die Ausgangsfunktion umgestellt hast

b) Was die Asymptote mit der Ablt. zu tun hat.

smile

Zur ersten Ableitung:

muss es nicht 1+ Bruch heißen? Was ich auch nicht verstehe... hast Du nach der Quotientenregel abgeleitet? Wieso steht im Zähler nur t?

24.09.2008, 18:49

Dorika

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$\begin{eqnarray*} (\frac{t}{x+1})' \end{eqnarray*}$
u=t
u'=0
v=x+1
v'=1
$\begin{eqnarray*} =\frac{0-t}{[x+1]²} \end{eqnarray*}$
daher auch das - Augenzwinkern

24.09.2008, 18:51

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Warum Quotientenregel? Um deren Vermeidung ging es doch gerade! Nein, einfach die Potenzableitungsregel

$\begin{eqnarray*} [x^n]' = n x^{n-1} \end{eqnarray*}$ ,

angewandt auf

$\begin{eqnarray*} f_t(x) = x-1 + t \cdot (x+1)^{-1} \end{eqnarray*}$ .

24.09.2008, 18:51

ostfriese1

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Und für das Extrema muss ich 1 - t = 0 setzen?

24.09.2008, 18:54

ostfriese1

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Ich bin verwirrt.

Bei mir geht die Polynomdivision nicht auf... könnte die jemand mal bitte zeigen? Mich stört dabei das t... unglücklich

24.09.2008, 18:56

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Zitat:

Original von ostfriese1
Und für das Extrema muss ich 1 - t = 0 setzen?

Wieso lässt du die Hälfte weg? Forum Kloppe

Selbstverständlich ist

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{t}{(x+1)^2} = 0 \end{eqnarray*}$

die Bestimmungsgleichung für lokale Extremwertkandidaten.

24.09.2008, 18:59

Dorika

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nein, die 1. Ableitung =0, dann mit dem nenner muliplizieren, dabei ausschließen, dass dieser =0 ist und dann ganz einfach normieren, pq formel anwenden und einen Wertebereich für x festlegen.

versuchs doch einfach mal.

wenn du t=0 hast, gibt es genau ein mögliches extrema.
gruß

edith: bin weg Augenzwinkern

24.09.2008, 19:03

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Zitat:

Original von ostfriese1
Ich bin verwirrt.

Bei mir geht die Polynomdivision nicht auf... könnte die jemand mal bitte zeigen? Mich stört dabei das t... unglücklich

Weißt du was? Ich hab die Idee mit der Abtrennung der Asymptote nur eingeworfen, weil ich die als eine Rechenerleichterung ansehe. Deine Nachfragen zeugen aber von einer derartigen Verständnislosigkeit, dass ich dir empfehle, deinen ursprünglichen Weg wieder aufzunehmen.

Und ich entschuldige mich für die Einmischung, die bei dir leider den total gegenteiligen Effekt hatte, den ich beabsichtigt hatte

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