Anwendung von Ketten- Produkt und Quotientenregel

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tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung von Ketten- Produkt und Quotientenregel
Hi,

Wir haben zur Zeit in Mathe die oben genannten Regeln um die Ableitung einer Funktion zu bestimmen.
Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß wann und wie ich welche Regeln anwenden kann
Bsp.:
Funktion: (1+2x)(1+x²)^0,5
Lösung: (4x²+x+2)/(1+x²)^0,5

Hier könnte man doch jetzt zum einen die Produkt- als auch die Kettenregel anwenden, aber wenn ich beide anwenden würde, würde ich die Funktion doch doppelt ableiten, oder ?
Könnte mir einmal jemand seinen Lösungsweg posten (die Lösungen haben wir von unserem lehrer bekommen) !?!

Bsp2.: f(x)=t(x²-x)
Lösung: 2tx-t

Könnte man hier jetzt nicht auch die Kettenregel anwenden wenn man sich die Potenz 1 denkt ? (kommt aber anderes Ergebnis raus)

Bsp3.: f(x)=(a+1)/(a²-x+x²)²
Lösung: (2+2a-4x-4ax)(a²-x+x²)^-3

Wieso darf ich in diesem Fall die Kettenregel nicht unter dem Bruchstrich anwenden ? (gibt auch anderes Ergebnis)


Also mein Problem besteht hautsächlich darin zu erkennen welche Regel angewandt werden muss und warum und was ich zum Beispiel auf keinen Fall machen darf (unter dem Bruchstrich die Kettenregel anwenden z.B) und warum.
Kann mir jemand helfen ?
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendung von Ketten- Produkt und Quotientenregel
Zitat:
Original von tschekowski

Bsp2.: f(x)=t(x²-x)
Lösung: 2tx-t

Könnte man hier jetzt nicht auch die Kettenregel anwenden wenn man sich die Potenz 1 denkt ? (kommt aber anderes Ergebnis raus)


Wenn du dir die Kettenregel denkst, dann kommt das aufs Gleiche raus, da daraus die POtenzregel resultiert, welche aus dem Exponenten 1 den Exponent 0 macht und somit zu einem Faktor 1 führt, und man somit wieder zum Ausgangspunkt zurückkommt. Somit nicht so sinnvoll.

Du kannst entweder ausmultiplizieren oder gleich die Kettenregel anwenden. Ich bin für letzteres. Dann sieht die Funktion so aus:
mit Dann gilt:
mit . Als Ableitung erhältst du also
Wenn du ausmultiplizierst, erhältst du: . Nach Summenregel ergibt dies . Die Ergebnisse sind somit gleich.

Ich versuche, deine anderen Fragen auch noch zu klären

Gruß
Hanno
 
 
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendung von Ketten- Produkt und Quotientenregel
Zitat:
Original von tschekowski

Bsp2.: f(x)=t(x²-x)
Lösung: 2tx-t

Könnte man hier jetzt nicht auch die Kettenregel anwenden wenn man sich die Potenz 1 denkt ? (kommt aber anderes Ergebnis raus)

Bsp3.: f(x)=(a+1)/(a²-x+x²)²
Lösung: (2+2a-4x-4ax)(a²-x+x²)^-3

Wieso darf ich in diesem Fall die Kettenregel nicht unter dem Bruchstrich anwenden ? (gibt auch anderes Ergebnis)



Du musst dich Stück für Stück vorarbeiten. Du kannst nicht einfache das zuerst ableiten was dir ins Auge springt. Der Term ist ein Quotient, also musst du zuerst die Quotientenregel anwenden. Dann kannst du auch deine Kettenregel nehmen, aber erst dann.
Verstehst du das oder soll ich es dir vorrechnen?

Gruß
Hanno
tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »

Vorrechnen wäre nicht schlecht - dann hätte ich wenigstens eine Musterlösung...
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendung von Ketten- Produkt und Quotientenregel
Zitat:
Original von tschekowski

Bsp3.: f(x)=(a+1)/(a²-x+x²)²
Lösung: (2+2a-4x-4ax)(a²-x+x²)^-3

Wieso darf ich in diesem Fall die Kettenregel nicht unter dem Bruchstrich anwenden ? (gibt auch anderes Ergebnis)



Alles klar, dann mal los smile
Ich habe mich eben vertan, tut mir leid. hier darfst du nicht die Quotientenregel anwenden. Hier musst du erst umstellen:
.
Das leitest du jetzt in der Tat mit der Kettenregel ab. ist ein konstanter Faktor, bleibt also erhalten.
Du substituierst also zu u und leitest ab.

Jetzt leiten wir ab. Das geht einfach über die Summenregel.
.
Jetzt führen wir die Rücksubstitution durch ( wir ersetzen u durch den ursprünglichen Term und hängen hinten als Faktor die Ableitung der Substitution an )


Jetzt nur noch ausmultiplizieren und du hast es.
Einleuchtend?

Gruß
Hanno
Rich Auf diesen Beitrag antworten »

hi
bei deinem ersten beispiel musst du mit produkt- und kettenregel ableiten!das bedeutet nicht dass du die funktions doppelt ableitest sondern nur das die verschiedenen regeln miteinander kombiniert werden müssen!



wenn du das alles auf einem bruch zusammenfassen willst must du den ersten summanden mit multiplizieren!
und dann hast du das ergebnis
tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »

Nur noch mal zur Sicherheit ob ich es wirklich richtig verstanden habe:
Ich habe einen Term gegeben z.B (4x²+x+2)/(1+x²)^0,5.
Dieser Term ist ein Quotient daher muss ich um die Funktion abzuleiten in erster Linie NUR die Quotientenregel anwenden. (d.h nicht schon am Anfang eine Kombination aus mehreren Regeln)
Da man aber bei der Quotientenregel auch Ableitungen braucht kann es sein, dass man um die Quotientenregel anzuwenden auch noch die Ketten- oder die Produktregel braucht.
Davor habe ich es nämlich immer so gemacht, dass wenn ich einen Term hatte einfach sobald irgendwo ein Produkt war die Produktregel angewandt habe und wo eine Potenz war die Potenzregel.
Im Prinzip wendet man doch aber in erster Linie nur eine Regel an, aber um diese anzuwenden braucht man die Hilfe der anderen, korrekt ?
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ein Programmierer würde sagen, das ganze ist rekursiv absteigend. Soll heißen, wie du schon sagtest, die Regeln können sich je nach Term selber beanspruchen und du musst so lange in die Regeln "absteigen", bis du eine Regel "ganz normal" anwenden kannst. Das hast du also schon richtig verstanden.

Gruß
Hanno
tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »

klasse! - Vielen Dank für eure Hilfe !!!
tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Frage: wieso darf ich hier nicht die Kettenregel anwenden ?:
a^0,5 x (1-a)

(weil a^0,5 kein konstanter Faktor ist und man ihn deshalb auch ableiten müsste d.h man müsste die Produktregel anwenden ?)
Mija Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich fürchte, du machst es dir ein bißchen zu kompliziert.
Bevor du anfängst abzuleiten, solltest du erstmal für dich schauen, welche Regeln du anwenden kannst.

Bsp: a^(1/2) nach a ableiten

-> hier gibt es nicht viel zu überlegen. Es wird einfach abgeleitet.


Bsp: (1-a) nach a ableiten

-> hier kann man natürlich die Kettenregel anwenden:

[(1 - a)^1]' = 1 * (1-a)^0 *(-1) = (-1)

!Ist hier aber nicht nötig! Kettenregel hilft, wenn du als Exponent einen Wert > 1 hast: (1-a)^5 ! (es gilt ja immer bei der Kettenregel: äußere mal innere Ableitung, wenn du eine "verkettete" Funktion hast!)


So, wenn du dir nun deine Aufgabe anschaust : a^0,5 * (1-a)

da steht ein * (mal) Zeichen zwischen den Termen. Da sollte dir als erstes die Produktregel einfallen: Erster Term abgeleitet mal den zweiten Term PLUS den ersten Term mit der Ableitung des zweiten Terms multipliziert! Also:

[ a^(1/2) * (1 - a) ]' = [a^(1/2)]' * (1-a) + a^(1/2) * [(1-a)]'

= 1/2 * a^(-1/2) * (1 - a) + a^(1/2) * 1 * (1-a)^0 *(-1)

durch umformen erhälst du dann:

1/2 * a^(-1/2) * (1 - 3a)



Gruß, Mija
Mija Auf diesen Beitrag antworten »

da fällt mir noch etwas ein.

Man kann meistens irgendeine Regel anwenden.
Zum Beispiel kannst du deine Funktion auch einfach ausmultiplizieren. Dann erhälst du :



Jetzt brauchst du nur noch ganz "normal" ableiten ohne Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel:



Nun brauchst du wieder nur noch umformen ( ausklammern) ... dann erhälst du deine Lösung!


Beachte: Man kommt immer auf verschiedenen Wegen zu einer Lösung. Manchmal ist der Weg ein bißchen länger, manchmal hat man den kürzesten Weg gewählt. Mit der Zeit wirst du ein Auge dafür bekommen, welche Regel du anwenden kannst. Als Handwerk dienen dir hier die Regeln. Du solltest sie alle können (!!), dann kannst du soviel rumspielen mit den Ableitungsregeln wie du willst! Augenzwinkern
Mija Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Noch eine Frage: wieso darf ich hier nicht die Kettenregel anwenden ?:
a^0,5 x (1-a)

(weil a^0,5 kein konstanter Faktor ist und man ihn deshalb auch ableiten müsste d.h man müsste die Produktregel anwenden ?)


Richtig:

Du hast zwei Terme vorliegen und jeder Term beinhaltet die Variable . Somit ist hier die Produktregel anzuwenden.

Gruß, Mija
tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »

d.h bei der Kettenregel darf vor der Potenz kein Faktor mit einer abzuleitenden Variable stehen ?
Mija Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir nicht sicher, was du nun genau meinst ....


Du benutzt die Produktregel, wenn du ein Produkt von Termen mit der Variablen hast:

(Term mit Var. ) * (Term mit Varbiablen )



die Qutientenregel benutzt du, wenn du einen Quotienten vorliegen hast, wobei sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Term mit Variablen steht:






die Kettenregel benutzt du, wenn du eine "Verkettung" vorliegen hast:

eine Funktione:



noch eine Funktion:




nun die "Verkettung" = Verknüfung der Funktionen:
dann ist




Somit mußt du hier die Kettenregel anwenden.
Erstens mußt du die äußere Ableitung bilden (das ist die Ableitung von ) und dann die innere Ableitung (die Ableitung vom Innern, also ) Zum Schluß multiplizierst du die beiden Ergebnisse.

Habe ich dir damit die Frage beantworten können?

LG, Mija
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tschekowski
Noch eine Frage: wieso darf ich hier nicht die Kettenregel anwenden ?:
a^0,5 x (1-a)

(weil a^0,5 kein konstanter Faktor ist und man ihn deshalb auch ableiten müsste d.h man müsste die Produktregel anwenden ?)


Nach welcher Variable soll denn differenziert werden ?


Dann würde die Produktregel zum Einsatz kommen, weil
die Variable a durch Multiplikation verknüpft ist.

oder :


Dann sind alle a's Konstanten und es kommt lediglich die
ganz normale Potenzregel (für x) zum tragen.
tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich eine Potenz habe wie z.B (1+a)^5 und davor ein Faktor z.B a² dürfte ich ja nicht die Kettenregel anwenden weil vor der Potenz ein abzuleitender Faktor steht = ich muss die Produktregel anwenden, oder ?
Wenn statt a² z.B 5 da stehen würde dürfte ich ja die Kettenregel anwenden...
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Ich steige bei dir nicht ganz durch was denn nun die Variable sein soll nach
der abgeleitet wird.

Bei f(a) = a² * (1+a)^5

muss ingesamt die Prosuktregel angewandt werden.
Für die dabei notwendige Ableitung von (1+a)^5 greift
die Kettenregel.
Bei dieser Funktion muss also beides kombiniert werden.
Mija Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn ich eine Potenz habe wie z.B (1+a)^5 und davor ein Faktor z.B a² dürfte ich ja nicht die Kettenregel anwenden weil vor der Potenz ein abzuleitender Faktor steht = ich muss die Produktregel anwenden, oder ?


... hm, ich habe das Gefühl, dass du da vieles durcheinander bringst.

wenn du ableiten möchtest, dann nimmst du die Kettenregel!

Steht vor dem Term ein Faktor mit der unbekannten Variablen beispielsweise , dann wendest du die Produktregel an, weil da ein Produkt von zwei Termen mit Variablen steht.

Steht vor dem Term ein "Faktor" in Form einer Konstanten sprich einer beliebigen Zahl (ganzzahlig, negativ oder positiv, rational oder reell ... ganz egal) dann leitest du einfach den Term mit der Kettenregel ab.
tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »

ok, das oben habe ich verstanden...

Habe aber ein Problem mit folgender Aufgabe (komme einfach nicht auf das richtige Ergebnis)

f(x)=(x^4-1)/(2x-1)
f'(x)=(3x^4-4x^3+1)/(x-1)²

das kann ich jetzt entweder mit der Quotientenregel oder mit der produktregel rechnen wenn ich die Klammer mit hoch1 nach oben bringe und die dann mir hoch-1 multipliziere...
Wenn ich mit der Quotientenregel rechne müsste man ja den Nenner quadrieren - komischerweise steht da jetzt aber ein ganz anderer Nenner im Quadrat.....

Könnte mir das bitte jemand vorrechnen - find meinen Fehler einfach nicht...
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hätte es (nach der Quotientenregel) so gemacht :









Im letzten Term kann man noch 2 ausklammern.



Bin bislang noch nicht auf deine Ableitung gekommen, aber ich
überlege noch : )
tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »

komme immer noch nicht auf die Musterlösung....kann es sein das die vielleicht falsch ist ?
Könnte das bitte noch mal jemand versuchen ?

Danke!
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

Würde man deine Musterlösung integrieren, käme man auf x³+x²+x, daher kann sie nicht stimmen. verwirrt
tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »

d.h die von mir angegebene (=die von unserem Lehrer) Lösung ist falsch ?
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

glaub schon verwirrt

BraiNFrosT hat sie dir eh richtig vorgerechnet, ich hab es sowohl händisch als auch mit dem TR nachgerechnet und das Ergebnis der Integration spricht für sich, oder?
tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »

mal eine andere Sache:
Wie löse ich Aufgaben mit cos und sin und was ist davon die innere bzw äußere Ableitung ?
Bsp.: (1): sin(1-0,5t²)
(2): (cos x)³
(3): 2*sin³x
(4): 2*(sin x)³ (prinzipiell das geliche wie (2) )
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tschekowski
mal eine andere Sache:
Wie löse ich Aufgaben mit cos und sin und was ist davon die innere bzw äußere Ableitung ?
Bsp.: (1): sin(1-0,5t²)
(2): (cos x)³
(3): 2*sin³x
(4): 2*(sin x)³ (prinzipiell das geliche wie (2) )


Das ist nicht wirklich Neues. Die innere Ableitung ist wie der Name schon sagt das, was innerhalb der Funktion ist. Du leitest die innere Funktion ab und multiplizierst sie mit der äußeren Ableitung. Ich mach's mal für die erste, den Rest musst du machen :-)

Innere Funktion:

Äußere Funktion mit Substitution:

Die korrekte Ableitung bildet sich jetzt als Produkt beider Ableitungen, also:


Jetzt bist du dran ! :-)
tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »

was würde denn bei 3* sin (x+5x²)³ rauskommen ?

9* cos (x+5x)² (1+10x) (?)

oder was mache ich dann in diesem Fall mit der Hochzahl ?
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tschekowski
was würde denn bei 3* sin (x+5x²)³ rauskommen ?

9* cos (x+5x)² (1+10x) (?)

oder was mache ich dann in diesem Fall mit der Hochzahl ?


Das ist eine noch mehr verschachtelte Funktion.
Du hast:

Jetzt substituieren wir fröhlich zu:




Kriegst du das hin?
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mal behaupten das sich die 3 nur auf das Argument bezieht.

Edit : Da hab ich selber nen Fehler gemacht ...

Das Ergebniss sollte : 3*(x+5x²)² *(10x+1)*3 cos (x+5x²)³ sein
@m00xi : Kommt das mit deiner Substitution auch raus ?
Ableiter Auf diesen Beitrag antworten »

f(x) = 3u(x)^3 ist doch falsch - oder?
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

@tschekowski:
die äußere Ableitung ist 3*sin(x+5*x²)² und die innere cos(x+5*x²)*(1+10*x), das ganze dann noch mit 3 multiplizieren. smile
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

@grybl :
Deiner Meinung nach bezieht sich die ³ also auf den gesamten Term
und nicht nur auf das Argument ?
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Also gut, ich rechne das mal ganz ausführlich vor:
Die Funktion lautet:

Wir substituieren zu:




Wir wollen, f(x) ableiten:

Dazu brauchen wir nun die Ableitung von u(x).

Und nun noch die Ableitung von v(x):

Alles zusammen ergibt sich also:
.

Ein kleiner Trick von mir. Wenn man sich das nicht immer stundenlang klar machen will, dann fängt man besten ganz innen an und schreibt nach und nach die Ableitungen als Faktor vor den Term. Dann kriegt man schneller das Ergebnis raus. Wenn man sich's einmal klar gemacht ist das wunderbar.
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von m00xi

Wir substituieren zu:



Da steht doch 3 sin (u)³
und nicht 3 (sin (u))³
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

@BraiNFrosT:
Du hast recht, ich habe leider falsch hingeschaut und verwirren lassen. Das ³ bezieht sich nur aufs Argument.
tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »

das Ergebnis von BraiNFrosT finde ich ehrlich gesagt logischer weil sonst müsste ich ja bei sin(1-0,5t²)=sin (1-0,5t²)^1 die 1 auch ableiten und dann wäre die hochzal 0 und der term 1 und so käme ein ganz anderes Ergebnis raus...
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich auch das gleiche Ergebnis wie BrainFRosT :]
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Basis selber ist eine Funktion, die du substituieren musst. Dann kannst du nach der POtenzregel ableiten, musst aber die Ableitung der inneren Funktion noch als Faktor hintenanschreiben ( Kettenregel ).

EDIT: och nein, die 3 bezieht sich nur aufs Argument *grummel*..... *abzieht*
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

was kommt denn bei dir raus m00xi?
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