Abbildung

24.09.2008, 21:35

Musti

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Abbildung

Gegeben sei eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: X\mapsto Y \end{eqnarray*}$ und Teilmengen $\begin{eqnarray*} X'\subseteq X, Y'\subseteq Y \end{eqnarray*}$

a) Beweise, dass gilt: $\begin{eqnarray*} X'\subseteq f^{-1}(f(X')) \end{eqnarray*}$ .

b) Zeige falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist, gilt sogar: $\begin{eqnarray*} X'=f^{-1}(f(X')) \end{eqnarray*}$

c) Gib ein möglichst einfaches Beispiel dafür an, dass $\begin{eqnarray*} X'=f^{-1}(f(X')) \end{eqnarray*}$ im allgemeinen falsch ist.

a) bin ich wiefolgt angegangen:

Sei $\begin{eqnarray*} x'\in X \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x')\in f(X')=\{f(z)|z\in X'\} \end{eqnarray*}$ .
Also $\begin{eqnarray*} x'\in f^{-1}(f(X')) \end{eqnarray*}$

Richtig?

Jetzt weiß ich nicht wie ich die Gleichheit zeige wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist und bräuchte dafür ein Ansatz.

Danke

24.09.2008, 21:51

Mazze

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Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} x'\in X \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x')\in f(X')=\{f(z)|z\in X'\} \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} x'\in f^{-1}(f(X')) \end{eqnarray*}$

Ich würde da noch einen Zwischenschritt reinpacken :

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(X')) = \{x \in X' | f(x) \in f(X')\} \end{eqnarray*}$

Und da wir wissen das $\begin{eqnarray*} f(x') \in f(X') \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x' \in f^{-1}(f(X')) \end{eqnarray*}$ . aber ansonsten find ich das ok.

Zitat:

Jetzt weiß ich nicht wie ich die Gleichheit zeige wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist und bräuchte dafür ein Ansatz.

Wenn man die Gleichheit zweier Mengen A,B zeigt, zeigt man $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \subseteq A \end{eqnarray*}$ . Durch Teil a) hast Du allgemein schon

$\begin{eqnarray*} X'\subseteq f^{-1}(f(X')) \end{eqnarray*}$

gezeigt. Jetzt musst Du also

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(X')) \subseteq X' \end{eqnarray*}$ zeigen, sei also $\begin{eqnarray*} x' \in f^{-1}(f(X')) \end{eqnarray*}$ und f injektiv ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.09.2008, 22:02

Musti

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Hmm ich tu mich damit schwer, weil das ja im allgemeinen falsch sein soll... Naja trotzdem versuch ich es Mal.

Sei $\begin{eqnarray*} x'\in f^{-1}(f(X')) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv. Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x')\in f(X')=\{f(z)|z\in X'\} \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} x'\in X' \end{eqnarray*}$ .

Naja das kann eigentlich nur falsch sein unglücklich

unglücklich

24.09.2008, 22:05

Mazze

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Ja ist es, Du hast ja nichtmal die injektivität benutzt. Ich würde es hier per Widerspruch machen.

Sei $\begin{eqnarray*} x'\in f^{-1}(f(X')) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv. Behauptung $\begin{eqnarray*} x' \not \in X' \end{eqnarray*}$ . Nun, wir wissen aber

$\begin{eqnarray*} \exists x \in X' :~ f(x) \in f(X') \wedge x \in f^{-1}(f(X')) \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(X')\wedge f(x') \in f(X') \end{eqnarray*}$ gibt es sogar dieses x mit $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x') \end{eqnarray*}$

Benutze die Injektivität und erhalte den Widerspruch smile

smile

24.09.2008, 22:09

Musti

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Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist, muss gelten $\begin{eqnarray*} x=x' \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x'\in X' \end{eqnarray*}$ ???

24.09.2008, 22:11

Mazze

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Ja so in etwa, wegen der injektivität folgt $\begin{eqnarray*} x = x' \end{eqnarray*}$ , es ist aber $\begin{eqnarray*} x \in X' \wedge x' \not \in X' \wedge x = x' \end{eqnarray*}$

also Widerspruch, also $\begin{eqnarray*} x' \in X' \end{eqnarray*}$ .

edit : Ich hab oben noch etwas geändert, schau es Dir nochmal kurz an.

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24.09.2008, 22:21

Musti

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Sehr verständlich, ich hoffe ich lerne das im laufe der Zeit auch.

24.09.2008, 22:22

Mazze

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Wie wäre es wenn Du uns noch die c) gibst?

24.09.2008, 22:30

Musti

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Das müsste doch im Prinzip so wie dein Widerspruchsbeweis aussehen oder?

Also: Sei $\begin{eqnarray*} x'\in f^{-1}(f(X')) \end{eqnarray*}$ . Behauptung $\begin{eqnarray*} x'\notin X' \end{eqnarray*}$ .
Wir wissen, dass es ein $\begin{eqnarray*} x\in X': f(x)\in f(X') \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(f(X')) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt weiß ich nicht weiter, sage ich jetzt einfach... wegen $\begin{eqnarray*} f(x)\in f(X') \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x')\notin f(X') \end{eqnarray*}$ oder wie fahre ich fort?

24.09.2008, 22:32

Mazze

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Die c) ist darauf ausgelegt das Du ein Beispiel gibst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Widerlegen tut man immer mit Gegenbeispielen.

24.09.2008, 22:40

Musti

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Sagen wir ich habe eine surjektive Funktion mit $\begin{eqnarray*} X'=\{1,2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(X')=Y'=\{1\} \end{eqnarray*}$
Dann gilt: $\begin{eqnarray*} f(1)=f(2)=1 \end{eqnarray*}$ . Dann wäre das Urbild der Funktion $\begin{eqnarray*} f^{-1}(1)=1=2 \end{eqnarray*}$

Da aus $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(2))=1 \end{eqnarray*}$ folgt, gilt im allgemeinen $\begin{eqnarray*} x'\neq f^{-1}(f(X')) \end{eqnarray*}$

Komisch, aber ich kanns einfach nicht.

24.09.2008, 22:45

Mazze

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Nun ja, dein Beispiel ist falsch. Beispiele sind so konkret wie möglich. Du sagst also nicht, sei f eine Surjektive Funktion, sondern Du gibst f direkt an. Klar ist, f darf nicht injektiv sein.

Schreib Dir mal ordentlich hin was Du haben willst. Du willst eine Funktion f derart haben so dass :

$\begin{eqnarray*} f : X' \to Y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(X')) \neq X' \end{eqnarray*}$

Du hast gut Angefangen und X',Y sehr einfach gewählt, leider jedoch zu einfach. Ein Paar mehr Zahlen brauch man da schon. Ein gegenbeispiel was mir sofort eingefallen ist wäre

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ~ x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} X' = \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$

allerdings solltest Du, fürs Verständnis, ein eigenes finden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

24.09.2008, 22:53

Musti

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Verstehe, denn $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x^2) \end{eqnarray*}$ ist gleich: $\begin{eqnarray*} X'=\mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X=\mathbb R^- \end{eqnarray*}$ .
Wegen $\begin{eqnarray*} X=\mathbb R^-\neq \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(x^2)\notin x' \end{eqnarray*}$ gilt die Aussage allgemein nicht.

24.09.2008, 22:57

Mazze

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Du musst noch ziemlich mit der Notation aufpassen

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x^2) \end{eqnarray*}$

was soll das sein?

Es ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(X')) = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} X' \neq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Das ist alles was man dazu sagen muss Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

24.09.2008, 22:58

Musti

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Ja du hast recht, ich muss noch ziemlich damit aufpassen, aber zum Glück lerne ich von dir. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.09.2008, 23:26

Romaxx

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RE: Abbildung
Edit: Sorry kleine Tippfehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

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