auf die koordinatenform kommen

30.06.2006, 14:43

mykillwhat

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auf die koordinatenform kommen

E: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Ebene2 $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + v\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} + u\cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Könnte mir einer erklären wie ich dadraus die koordinatenform bekomme?
Am besten recht ausführlich
danke im vorraus

30.06.2006, 14:47

marci_

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weißt du, was ein normalenvekotr ist, und wie man ihn ermittelt?

30.06.2006, 15:51

JochenX

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Zitat:

Könnte mir einer erklären wie ich dadraus die koordinatenform bekomme?

Wenn es dir nur darum geht, das Prinzip zu verstehen, dann kann ich nicht nachvollziehen, warum du dann ZWEI Ebenen angibst.
Das zeigt relativ klar, dass diese beiden Ebenen dir als Aufgabe gegeben wurden und du eigentlich nur die Lösung willst.

unglücklich

unglücklich

30.06.2006, 15:57

mykillwhat

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Ja gehört beides zu ner aufgabe aber um die zu lösen muss ich erstmal auf die Koordinatenform kommen nen anderen weg auf die schnittgerade zu kommen kenne ich leider nicht.

Wenn mich nicht alles täuscht ist der Normalvektor das kreuzprodukt aus den beiden letzten vektoren

auserdem hab ich das ergebniss schon will trotzdem das prinzip verstehen wie das funktioniert

30.06.2006, 16:01

JochenX

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Richtig, das liefert dir zumindest EINEN Normalenvektor.
Die beiden letzten Vektoren haben auch Bezeichnungen - "Spannvektor" oder ähnlich.

Sei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Normalenvektor, dann hat deine Ebene eine Form $\begin{eqnarray*} ax_1+bx_2+cx_3=d \end{eqnarray*}$ .

Bleibt also nur d zu bestimmen und das findest du über Punktprobe (nimm z.B. den Aufpunkt).

30.06.2006, 16:02

tigerbine

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Jo, und wie ist dann die Koordinatenform definiert? Die ist ja eine "ausmultiplizeirte" Darstellung der Normalenform Augenzwinkern

Augenzwinkern

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30.06.2006, 16:23

mykillwhat

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Also ich hätte jetzt für die erste Ebene das hier raus aber mal ne blöde frage wie funktioniert das mit der Punktprobe genau

$\begin{eqnarray*} 1x+1y+1z= \end{eqnarray*}$

30.06.2006, 16:27

tigerbine

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Augenzwinkern

Indem Du einen Punkt der Ebene einsetzt. Z.B. den Aufpunkt

30.06.2006, 16:31

mykillwhat

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noch ne dumme frage aber was versteht man unter aufpunkt verwirrt

verwirrt

30.06.2006, 16:33

tigerbine

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RE: auf die koordinatenform kommen

Zitat:

Original von mykillwhat
E: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Ebene2 $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + v\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} + u\cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Den ersten Vektor, also (1,3,4)^T und (8,5,3)^T

Was bedeuten diese Ebenen Darstellungen denn anschaulich Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.06.2006, 16:50

mykillwhat

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hmmm keine ahnung was du meinst es würd reichen wenn du mir sagen kannst was genau ich wo einsetzten muss

30.06.2006, 16:52

JochenX

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"Aufpunkt", damit meinte ich den Punkt, auf den der "Stützvektor" zeigt
"Stützpunkt" klingt zu doof

Du musst einfach mit irgendeinem Geradenpunkt Punktprobe machen
Was Punktprobe bedeutet, weißt du hoffentlich.

Daraus kannst du dann d bestimmen.

30.06.2006, 16:56

derkoch

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"das absolutglied"( für die normalengleichung der ebene( in diesem fall dein d) bekommst du durch das Skalrprodukt des normalenvektors und des Ortsvektors!

30.06.2006, 17:10

tigerbine

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Zitat:

Original von mykillwhat
hmmm keine ahnung was du meinst es würd reichen wenn du mir sagen kannst was genau ich wo einsetzten muss

Das habe ich Dir doch gesagt! Den Punkt (1,3,4) z.B. für die erste Ebene. Das ist der Aufpunkt, Stützpunkt wie auch immer. Als punkt der ebene muss er auch der Normalengleichung genügen!

Die hatte die ja LOED gegeben Freude

Freude

Zitat:

Original von LOED

Sei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Normalenvektor, dann hat deine Ebene eine Form $\begin{eqnarray*} ax_1+bx_2+cx_3=d \end{eqnarray*}$ .

Bleibt also nur d zu bestimmen und das findest du über Punktprobe (nimm z.B. den Aufpunkt).

Wenn Du wüßtest, was die erste Darstellung bedeutet, wäre Dir das auch klar gewesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und anschaulich kann man sich diese Formeln auch besser merken Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der erste Vektor beschreibt den Vektor [OP], also vom Ursprung "rauf "auf die Ebene. die anderen beiden sind dann die Richtungsvektoren der Ebene. also wie man sich "In der Ebene" bewegt.

Dazu gibt es so gut wie in jeder Formelsammlung Skizzen!

Gruß

30.06.2006, 17:55

mykillwhat

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also sind die die gleichung der ebenden so

$\begin{eqnarray*} e1=x+y+z=8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e2=24x+12y-30z=162 \end{eqnarray*}$

ist das so richtig?

30.06.2006, 20:03

tigerbine

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Vamos a ver:

$\begin{eqnarray*} E_{1}: 1x+1y+1z-8 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{2}: 4x+2y-5z-27=0 \end{eqnarray*}$

Si, beachte nur die Notation Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.06.2006, 20:39

riwe

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nach dieser schwierigen geburt:
um die schnittgerade zu erhalten, brauchst du diesen (um)weg nicht.
setze einfach die beiden ebenen gleich, eliminiere einen der parameter und setze rück ein. (schönes deutsch)
1 - r + t = 8 + 3v - 6u
3 - t = 5 - 6v + 2u
4 + r = 3 - 4u
aus (II) t = 6v - 2 - 2u
aus (III) r = - 1 - 4u
in (I) einsetzen liefert $\begin{eqnarray*} u = 1 - \frac{3}{8}v \end{eqnarray*}$
in E2 einsetzen, zusammenfassen und ein bißerl kosmetik ergeben die schnittgerade:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix} +v\begin{pmatrix} 7 \\ -9 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
werner

01.07.2006, 00:43

mykillwhat

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Also gibt 2 dinge die ich nicht so ganz verstehe bin wohl zu blöd oder so also ersten wie ich auf die zweite ebene komme

$\begin{eqnarray*} kreuzprodukt = \begin{pmatrix} 24\\ 12 \\ -30 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 24*8+12*5-30*3*d=0 d=-162 \end{eqnarray*}$

Bei der rechnung zum schnitt verstehe ich nicht wieso da aufeinmal 4 variablen sind

Hab das jetzt mal so gerechnet kann sein dass ich mich irgendwo vertan habe ist ja auch schon spät

y=-x-z+8

das in GL 2 eingesetzt
4x+2(-x-z+8)-5z-27=0
=2x-7z-11=0
jetzt für z einfach den wert 1 einsetzten
=2x-18=0
das nach x auflösen
x=9
und das in GL 1 einsetzten nach y auflösen
y=-2

weiss nicht obs nen richtiger weg ist so hab ich das zumindest bis jetzt immer gemacht

01.07.2006, 03:29

derkoch

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Zitat:

Original von mykillwhat
Also gibt 2 dinge die ich nicht so ganz verstehe bin wohl zu blöd oder so also ersten wie ich auf die zweite ebene komme

$\begin{eqnarray*} kreuzprodukt = \begin{pmatrix} 24\\ 12 \\ -30 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 24*8+12*5-30*3*d=0 d=-162 \end{eqnarray*}$

was soll das denn darstellen?

wo taucht das "d" aufeinmal her?

01.07.2006, 08:08

riwe

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deine kompositionen sind schon sehr extravagant Big Laugh

Big Laugh

aus deinem post, und das was es sein sollte

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 24\\ 12 \\ -30 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und damit es nicht so riesig wird, dividiert man zunächst durch 6:
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und statt der grauenhaften zeile

$\begin{eqnarray*} 24*8+12*5-30*3*d=0 d=-162 \end{eqnarray*}$

wegen der koordinatenform einer ebene
$\begin{eqnarray*} ax+by+cz=d \end{eqnarray*}$

bekommst du d = 27 aus:

$\begin{eqnarray*} 4\cdot 8+2\cdot5-5\cdot3=27 \end{eqnarray*}$

und wenn du meinen beitrag meinst mit: ...."vertsehe ich nicht wieso da auf einmal 4 variable sind...." : SCHAU DIR DOCH EINMAL DEINE 2 EBENEN IN PARAMETERFORM AN UND ZÄHLE, WIE VIELE VARIABLE DA STEHEN! Big Laugh

Big Laugh

und dann lies den text meines beitrags.
werner

01.07.2006, 11:23

mykillwhat

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sorry wusste nicht dass man nen vektor einfach so teilen kann wie schauts denn mit meiner rechnung aus ist das ganz falsch oder kann man das auch so machen? Weil normalerweise hab ich das immer bei der form n*(ro-r1) benutzt

01.07.2006, 11:44

kikira

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Ein Vektor ist ein Pfeil.

Mal doch mal einen Pfeil auf einen Zettel.

Der Pfeil zeigt in eine ganz bestimmte Richtung.

Wenn du nun ein Koordinatensystem zeichnest und einen Punkt einzeichnest, so ist dieser Punkt im Koordinatensystem fixiert.

Nun nimm diesen Pfeil, den du auf einen Zettel gezeichnet hast in die Hand (Daumen auf den Anfang und Zeigefinger auf die Spitze des Pfeiles legen) und versetze ihn genau mit der gleichen Richtung in diesen Punkt. Nun kannst du die Gerade durchzeichnen.
Hättest du den Vektor um die Hälfte verkürzt und in diesen Punkt hinein versetzt, dann hättest du trotzdem die komplett gleiche Gerade zeichnen können.

Daher ist es für eine Geradengleichung und ebenfalls für die Ebenengleichung total egal, ob du einen dreimal so langen Pfeil nimmst und ihn in einen PUnkt hineinversetzt oder ob du die Hälfte, ein Drittel usw. nimmst. Er gibt dann trotzdem noch genau die Richtung der Gerade an. Und nur das braucht er zu tun.

Weil es ausreicht, dass man einen Punkt der Gerade kennt und ihre Richtung (=Richtungspfeil) reicht es aus, NUR diese beiden Sachen in die Geradengleichung einzusetzen:

X(x/y/z) = Punkt + t * Richtungsvektor

Und die Geradengleichung ist dazu da, dass du dir jeden beliebigen Punkt X (x/y/z), der auf der Gerade drauf ist, berechnen kannst.

z.b. indem du für t = 4 einsetzt, denn das bedeutet dann, dass du von deinem gegebenen Punkt 4 mal den Richtungsvektor einzeichnest und in der Spitze des 4. Pfeiles liegt dann dein gesuchter Punkt X.

t steht bloß dafür, wie oft man den Vektor vom gegebenen PUnkt auftragen will/soll/muss/kann, um einen neuen Punkt X der Gerade zu erhalten.

lg kiki

01.07.2006, 11:47

tigerbine

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Zitat:

Original von tigerbine
Vamos a ver:

$\begin{eqnarray*} E_{1}: 1x+1y+1z-8 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{2}: 4x+2y-5z-27=0 \end{eqnarray*}$

Si, beachte nur die Notation Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also wie man die Ebenen in koordinatenform angibt, habe ich Dir doch geschrieben. Und es wurde auch schon erwähnt, dass bei E2 zunächst der Vektor "gekürzt" wurde.

Mach Dich mal mit dem Rechengesetzten zu dem Thema vertraut Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kürzen muss du nicht, Du kannst des Weiteren auch schreiben:

$\begin{eqnarray*} E_{2}: 4x+2y-5z=27 \end{eqnarray*}$ Gruß @ Werner Augenzwinkern

Augenzwinkern

So jetzt sollst du die Schnittgerade Ausrechen!

01.07.2006, 12:21

mykillwhat

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ich glaube jetzt habe ich es ganz verstanden wenn der werner mit schönheitskorekturen das großzügige aufrunden meinte.
Hätte nur noch 2 fragen
1. Kann ich das immer so anwenden wenn ja dann ist die umwandlung in die Koordform ja überflüssig

2. Ist das zufall oder ist das immer so dass der vektor hinter v das kreuzprodukt der anderen beiden Normalvektoren ist

01.07.2006, 12:40

tigerbine

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Zitat:

Original von wernerrin

in E2 einsetzen, zusammenfassen und ein bißerl kosmetik ergeben die schnittgerade:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix} +v\begin{pmatrix} 7 \\ -9 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
werner

zu 1) Jo, aber du hattest ja nach der Umwndlung gefragt Augenzwinkern

Augenzwinkern

zu 2) Was weisst Du denn über den Richtungsvektor der Schnittgeraden?

- Er "liegt" in E1, also steht er senkrecht auf den Nromalenvektor von E1

- Er "liegt" in E2, also steht er senkrecht auf dem Nomralenvektor von E2

Und was beschriebt das Kreuzprodukt?

01.07.2006, 12:43

riwe

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Zitat:

Original von mykillwhat
ich glaube jetzt habe ich es ganz verstanden wenn der werner mit schönheitskorekturen das großzügige aufrunden meinte.

nein meint er nicht geschockt

geschockt

schönheitskorrektur = beseitigung von brüchen im (normalen)vektor. die kann man ja in der konstanten verstauen.
aufgerundet ist da NULL und NIX! Big Laugh

Big Laugh

werner

01.07.2006, 13:13

mykillwhat

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mist aber wenn ich U=1-3/8v in e2 einsetzte bekommen ich solche ergebnisse
wie verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} (21*v/4)+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7-(27v/4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3*v/2)-1 \end{eqnarray*}$

01.07.2006, 13:52

kikira

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Zitat:

Original von tigerbine
Vamos a ver:

$\begin{eqnarray*} E_{1}: 1x+1y+1z-8 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{2}: 4x+2y-5z-27=0 \end{eqnarray*}$

Si, beachte nur die Notation Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schnittgerade berechnen:

mit Additionsverfahren eine Unbekannte eliminieren, welche du willst:

x + y + z = 8 | *(-2)
4x + 2y - 5z = 27
__________________

2x + 0y - 7z = 11

Nun setzt man für eine der beiden Unbekannten t:

z.b. x = t

Nun setzt man in die erhaltene Gleichung zurück ein und drückt sich damit z aus:

2t - 7z = 11

7z = - 11 + 2t

z = -11/7 + 2/7 * t

Nun hat man eine Koordinate der Geradengleichung, nämlich das z, die x-Koordinate hat man auch bereits, denn x = t

Und nun setzt man diese beiden SAchen in eine der Anfangsgleichungen ein und drückt sich die y-Koordinate ebenfalls durch t aus:

t + y -11/7 + 2/7t = 8

y = 67/7 - 9/7t

Und nun schreibt man alle Koordinaten untereinander:

x = 0 + 1t
y = 67/7 - 9/7 t
z = -11/7 + 2/7 * t

Und nun verschmelzen die x, y- und z-Koordinate zum großen Punkt X

Die Zahlen auf der rechten Seite sind die Koordinaten eines Punktes, der auf der Geraden oben ist.
Die Zahlen beim t sind die Koordinaten des Richtungsvektors:

also:

$\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} 0 \\ 67/7 \\ -11/7 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 1 \\ -9/7 \\ +2/7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und da der Richtungsvektor Brüche hat und man ihn mit allem multiplizieren kann, womit man will, außer mit 0, multipliziert man ihn mit 7, dann fallen die blöden Brüche weg.

Dann lautet der neue Richtungsvektor(der die komplett gleiche Richtung hat, bloß aber 7 mal so lang ist):

(7 / -9 / +2)

lg kiki

01.07.2006, 14:02

riwe

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Zitat:

Original von mykillwhat
mist aber wenn ich U=1-3/8v in e2 einsetzte bekommen ich solche ergebnisse
wie verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} (21*v/4)+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7-(27v/4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3*v/2)-1 \end{eqnarray*}$

kannst oder willst du nicht lesen?
MULTIPLIZIERE HALT den "vektoriellen teil" zum teufel mit 4 Teufel

Teufel

aber KIKI hat es eh schon ganz genau hingemalt.
werner

01.07.2006, 14:23

mykillwhat

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War ne echt schwere geburt danke nochmal dass ihr so geduldig wart Freude

Freude

Freude

Freude

Freude

Freude

Freude

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