Kurvenlänge

30.06.2006, 13:49

zebrabiene

Kurvenlänge

Hi,
wir sollen zeigen, daß die folgende Kurve auf [0,1] keine endliche Länge besitzt:

$\begin{eqnarray*} c:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^2: \quad c(t) = \begin{cases} (t, t^2 \cos(\frac{\pi}{t^2})^T, & \mbox{wenn }t \neq 0 \\ (0,0)^T, & \mbox{wenn } t = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dazu ist als Hinweis gegeben, man solle die Parameterwerte $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{n}}, \quad n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ betrachten - also kommt man wohl um das Lösen des Integrals herum (was ziemlich böse ausschaut).
Aber wir wissen nicht wie wir das nun ansetzen. Anschaulich ist uns das schon klar, weil das eine trig. Fkt. mit Argument der Form $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ ist - also bei Annäherung an den Nullpunkt "immer schneller schwankt".

Über Hinweise wären wir dankbar!

LG

30.06.2006, 14:16

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvenlänge
Berechne die Funktionswerte einfach mal:

$\begin{eqnarray*} c(\sqrt{\frac{1}{n}}) = (\sqrt{\frac{1}{n}}, (\sqrt{\frac{1}{n}})^2 \cdot \cos(\frac{\pi}{(\sqrt{\frac{1}{n}})^2}))^T =~ ... \end{eqnarray*}$

Kommt dir mit dem Ergebnis schon eine Idee ?

Grüße Abakus smile

30.06.2006, 15:51

zebrabiene

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ... das läßt sich vereinfachen wegen den ^2 und man könnte die Länge des Sehnenpolygonzuges durch eine Reihe berechnen. Es fällt noch auf, dass die zweite Koordinate alterniert weil $\begin{eqnarray*} \cos(n \pi) = (-1)^n \end{eqnarray*}$ ist.

Meintest du etwas in dieser Richtung?

LG,
zebrabiene

30.06.2006, 16:41

zebrabiene

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, nach einem kleinen Irrweg habe ich einfach den Grenzwert der Folge der $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ in der Reihe ausgerechnet und erhalte, daß die Reihe divergiert und damit keinen endlichen Grenzwert hat (genauer erhalte ich $\begin{eqnarray*} l=\sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} a_k = 1 \Rightarrow l = + \infty \end{eqnarray*}$ .
Und daraus folgt, daß die "richtige Länge", also das Integral, erst recht gegen Unendlich geht.

LG,
zebrabiene

30.06.2006, 19:46

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvenlänge
Es ist:

$\begin{eqnarray*} c(\sqrt{\frac{1}{n}}) = (\sqrt{\frac{1}{n}}, \frac{(-1)^n}{n})^T \end{eqnarray*}$

Soweit ok. Jetzt ist fraglich, durch welche Strecken der Weg nach unten geeignet abgeschätzt werden kann. (Welchen Streckenzug hast du genommen ?)

Ein Versuch mit den Funktionswerten führt auf die harmonische Reihe:

$\begin{eqnarray*} V(c) \ge \sum_{n=1}^{\infty} |\frac{(-1)^n}{n}| = \infty \end{eqnarray*}$

Dabei bezeichnet V(c) die totale Variation von c (Kurvenlänge).

Grüße Abakus smile

30.06.2006, 20:56

zebrabiene

Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt kann ich dir jetzt nicht ganz folgen.

Die Folge $\begin{eqnarray*} \left( \sqrt{\frac{1}{n}} \right)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ ist ja eine Zerlegung von [0,1]. Die Länge dieser "approximierten" Kurve ist dann $\begin{eqnarray*} l(Z)=\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\sum_{k=1}^2 (c_k(t_{n+1}) - c_k(t_n))^2} \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} t_n \end{eqnarray*}$ das jeweils n-te Folgenglied und k die Koordinate bezeichnet).

Wenn der Ausdruck unter der Wurzel gegen +1 konvergiert (also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = 1 \end{eqnarray*}$ ), dann konvergiert die Reihe in jedem Fall uneigentlich gegen + Unendlich. Und wegen der Dreiecksungleichung ist die Länge für jede feinere Zerlegung höchstens größer(gleich) der approximierten.

Varianz lese ich leider zum ersten Mal in diesem Zusammenhang. Soll das eine Abschätzung zwischen approximierter und reeller Kurvenlänge sein?

LG,
zebrabiene

30.06.2006, 21:32

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von zebrabiene
Wenn der Ausdruck unter der Wurzel gegen +1 konvergiert (also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = 1 \end{eqnarray*}$ ), dann konvergiert die Reihe in jedem Fall uneigentlich gegen + Unendlich.

Schon richtig, nur konvergiert die Folge unter der Wurzel gegen 0 (rechne es nach).

Mal eine Skizze:

Mit der totalen Variation (nicht zu verwechseln mit Varianz!) der Kurve wird in diesem Zusammenhang die Kurvenlänge bezeichnet.

Grüße Abakus smile

30.06.2006, 22:10

quarague

Auf diesen Beitrag antworten »

mit gröberem abschätzen kann man sich die Rechnung deutlich vereinfachen.
ich nehme das Ergebnis von Abakus und betrachte nur die Änderung auf der y Achse.
von rechts schauend nimmt die Kurve erst den Wert -1 an, später den Wert +1/2, die Kurvenlänge dazwischen ist sicher größer als |-1-1/2|=3/2 > 1
danach kommt der Wert -1/3, die Kurvenlänge dazwischen ist sicher größer als |1/2-(-1/3)|= 5/6 > 1/2, und so weiter. Die Abschätzung mit dem größer Zeichen ist einfach der Betrag von dem größeren der beiden Werte, das geht, da sie immer verschiedenes Vorzeichen haben.
Mit dieser groben Abschätzung erhalten ich immer noch, das die Weglänge größer als $\begin{eqnarray*} \sum \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist und das divergiert.

01.07.2006, 08:35

zebrabiene

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Abakus
Schon richtig, nur konvergiert die Folge unter der Wurzel gegen 0 (rechne es nach).

Ach mist

.
Dann muß ich nochmal darüber nachdenken. Aber auf den ersten Blick scheint mir quaragues Lösung sehr elegant.

Auf jeden Fall schonmal Danke für die Hilfe!

LG,
zebrabiene

Neue Frage »

Antworten »

Kurvenlänge

Verwandte Themen