nur wenn....

01.07.2006, 11:22

Stimt doch

nur wenn....

hi!

Folgende Aussage stimmt doch nur wenn f stetig ist oder nicht ß

Sei f[a,b]-->IR mit f>=0 und ist $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ =0 dann FOLGT f(x)=0

01.07.2006, 11:30

JochenX

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Hmmmm, wenn du diese Behauptung aufstellst, dann musst du aber auch ein Gegenbeispiel dazu finden.
Ich nehme ja an, f(x)=0 soll fpr die konstante Funktion stehen.

Hier ein Gegenbeispiel zu konstruieren ist gar nicht so schwer:
Es eignet sich eine Funktion, die konstant 0 ist, aber in einem einzigen Punkt NICHT.

Viel mehr fällt mir aber auch nicht ein, woran hattest du gedacht, als du das aufgestellt hattest?

01.07.2006, 15:08

Sunwater

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die Aussage stimmt nur, wenn f stetig ist!

wenn du dir vorstellst du hast eine Funktion, die überall im Intervall 0 ist, aber an der Stelle 0,5 ist sie sagen wir mal 7. Dann ist der Flächeninhalt der Funktion trotzdem Null.

Du bildest doch den Flächeninhalt von vielen kleinen Rechtecken, wenn du ein Integral bildest. Bei der Berechnung ist ja die Funktion immer null, also hat eigentlich jedes Rechteck den Flächeninhalt null.

Und das mit dem Funktionswert 7? - das hat zwar die "Höhe" 7, aber als Länge 0, denn ein Intervall aus nur einem Punkt hat ne Länge von 0.

somit ist alles null und du hättest ein Gegenbeispiel, was aber nur klappt, weil die Funktion nicht stetig ist

01.07.2006, 15:27

papahuhn

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Zitat:

Original von LOED

Hier ein Gegenbeispiel zu konstruieren ist gar nicht so schwer:
Es eignet sich eine Funktion, die konstant 0 ist, aber in einem einzigen Punkt NICHT.

Wie würde denn dazu das Integral aussehen?

01.07.2006, 15:33

Sunwater

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zum Beispiel so:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 ~f(x) ~dx \text{ mit } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} 2 \text{ für } x = \frac{1}{2} \\ 0 \text{ sonst } \end{cases} \end{eqnarray*}$

01.07.2006, 15:34

JochenX

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Zitat:

Original von papahuhn

Zitat:

Original von LOED

Hier ein Gegenbeispiel zu konstruieren ist gar nicht so schwer:
Es eignet sich eine Funktion, die konstant 0 ist, aber in einem einzigen Punkt NICHT.

Wie würde denn dazu das Integral aussehen?

Was genau meinst du damit, wie das Integral aussehen würde? Wie man sowas berechnen würde?
Kannst es ja zerlegen und nutzen, dass $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{a}~f(x)~dx=0 \end{eqnarray*}$ ist.
Insbesondere ist es ja auch egal, ob ein Randpunkt eines Intervalls noch dazugehört oder nicht, wenn du das Integral über einem Intervall berechnest.

Oder habe ich deine Frage falsch verstanden?

01.07.2006, 15:50

papahuhn

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Ich würde gerne die explizite Funktionsvorschrift des Integrals von Sunwater sehen.

01.07.2006, 15:55

Sunwater

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geh doch lieber über die Definition des Integrals als Grenzwert der Riemannschen Zwischensummen - das ist einfacher, als wenn du jetzt eine explizite Formel für den Wert des Integrals haben willst

01.07.2006, 15:59

JochenX

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Zitat:

das ist einfacher, als wenn du jetzt eine explizite Formel für den Wert des Integrals haben willst

Wieso?

Für dein Zahlenbeispiel:
auf [0,1/2) ist F(x)=0 eine Stammfunktion
auf [1/2,1/2] ist F(x)=2x eine SF
auf....

Damit: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~f(x)~dx=\int_{0}^{0.5}~0~dx+\int_{0.5}^{0.5}~2~dx+\int_{0.5}^{1}~0~dx=[0]_{0}^{0,5}+[2x]_{0.5}^{0.5}+[0]_{0.5}^{1}=(0-0)+(1-1)+(0-0)=0 \end{eqnarray*}$
gehts doch ganz einfach.

Und das ist nicht mehr als der Hauptsatz des Integrationsdingens da.

01.07.2006, 16:08

papahuhn

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Oh, mir war bis jetzt gar nicht bewusst, dass ein Integral existieren kann, obwohl es keine Stammfunktion gibt.

01.07.2006, 16:12

system-agent

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es gibt doch eine stammfunktion, nur die muss man sich eben aus intervallen zusammenbauen...

01.07.2006, 16:24

papahuhn

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Dann frage ich jetzt nochmal nach der expliziten Vorschrift für die Stammfunktion. Big Laugh

02.07.2006, 09:14

gast1

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Es gibt keine Stammfunktion zu dieser Funktion, dies ist jedoch für das Integral absolut unerheblich
Es gibt KEINEN allgemeinen Zusammenhang zwischen der Existenz von Stammfunktionen und der eines bestimmten Integrales. Lediglich für stetige Funktionen eignen sich Stammfunktionen zur Berechnung des Integrals.
0 ist auch keine Stammfunktion der Einschränkung dieser Funktion auf [0;0,5].

Man kann jetzt den Begriff der Stammfunktion allgemeiner fassen, als das in den mir bekannten Büchern im Zusammenhang mit dem Riemannintegral geschieht, aber das scheint eben nicht sehr üblich zu sein.

Mit den "gängigen" Definitionen ist es nicht richtig, hier mit Stammfunktionen zu argumentieren.
Aber selbst beim Riemannintegral gibt es doch zum Beispiel den folgenden einfachen Satz:
Sind $\begin{eqnarray*} f,g:[a,b]\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zwei Funktionen, ist die Menge $\begin{eqnarray*} \{x\in[a,b]|f(x)\neq g(x)\} \end{eqnarray*}$ endlich und ist f Riemannintegrierbar, so auch g und es gilt
$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x)dx=\int_a^b g(x)dx \end{eqnarray*}$

Auch das wird man nicht mit Stammfunktionen bewiesen, sondern direkt mit der Definition des Integrals.

02.07.2006, 11:48

papahuhn

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Ich hatte noch folgenden Satz in Erinnerung: Für eine integrierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} F(x) := \int_a^x f(t)dt \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion. Für die Sunwater-Funktion ist das Integral sogar wohldefiniert, aber keine Stammfunktion. Der Satz scheint also höchstens für stetige Funktionen zu gelten, was mir bis vor kurzem halt nicht bewusst war.

02.07.2006, 12:40

Sunwater

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jep - der Satz gilt nur für stetige Funktionen...

02.07.2006, 12:47

JochenX

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Okay, da habe ich wieder was gelernt. Danke-
Ich habe diese Funktion für stückweise stetig angesehen (und dann gilt der Satz durch Zerlegung ja wieder).
Ich denke, meine Berechnung oben ist relativ richtig, nur für den einzelnen Punkt darf ich vermutlich KEINE Stammfunktion angeben!?

02.07.2006, 15:45

system-agent

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Zitat:

Original von gast1
Sind $\begin{eqnarray*} f,g:[a,b]\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zwei Funktionen, ist die Menge $\begin{eqnarray*} \{x\in[a,b]|f(x)\neq g(x)\} \end{eqnarray*}$ endlich und ist f Riemannintegrierbar, so auch g und es gilt
$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x)dx=\int_a^b g(x)dx \end{eqnarray*}$

diesen satz verstehe ich nicht, was ist zb. mit f(x)=1 und g(x)=2 auf I=[0;1]?
wieso sollte hier
$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1~f(x)~dx = \int\limits_0^1~g(x)~dx \end{eqnarray*}$
gelten? verwirrt

02.07.2006, 16:21

Leopold

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Das gilt natürlich nicht. Die von dir genannten Funktionen erfüllen allerdings auch nicht die Voraussetzung.

02.07.2006, 18:44

sarsel

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Der Satz von gast1 ist einfacher gesagt:

$\begin{eqnarray*} f\in R([a,b]), \,\, \end{eqnarray*}$
g entstehe aus f indem man f in einer endlichen zahl von Punkten ändert.
Dann gilt auch
$\begin{eqnarray*} g\in R([a,b]) \end{eqnarray*}$

Der Satz gilt sogar noch, wenn die Menge der unterschiedlichen Stellen nicht endlich sondern unendlich abzählbar ist. (Mengen die endlich oder unendlich abzählbar sind, werden als Mengen vom Lebesque-Maß Null bezeichnet.)

Außerdem kann "abändern" auch heißen, dass g in diesen Punkten nicht definiert ist. Es ist völlig egal, solange die Menge endlich oder unendlich abzählbar ist, bleibt g Riemann-integrierbar und der Wert des Riemann-Integrals ändert sich nicht.

02.07.2006, 19:04

gast1

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Zitat:

Original von sarsel

Der Satz gilt sogar noch, wenn die Menge der unterschiedlichen Stellen nicht endlich sondern unendlich abzählbar ist.

Das stimmt nicht, siehe die Nullfunktion und die charakteristische Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Das Riemannintegral ist erbärmlich, bei ihm kann tatsächlich nur für endlich viele Stellen eine Aussage gemacht werden.
Lediglich, wenn man voraussetzt, dass beide Funktionen integrierbar sind, lassen sich allgemeinere Resultate beweisen.

Zitat:

(Mengen die endlich oder unendlich abzählbar sind, werden als Mengen vom Lebesque-Maß Null bezeichnet.)

Endliche und abzählbare Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sind zwar Lebesgue-Nullmengen, Deine Aussage suggeriert aber, dass dies alle wären, was nicht stimmt. Es gibt auch überabzählbare Lebesgue-Nullmengen.

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