Ganzrationale Funktionen

25.09.2008, 17:33

sunny290505

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Ganzrationale Funktionen

Hallo.
Ich geh in die 11. Klasse und bin im Mathe GK. Ich schreib morgen Mathearbeit und habe noch so ein paar Problemchen, besonders mit den ganzrationalen Funktionen. Ich hoffe ihr könnt mir da weiter helfen!

Hier mal eine Aufgabe die ich net versteh:
Entscheide, ob die folgende Funktion ganzrational ist:. Gib gegebenfalls den grad an.

h(x)= x²/x+1

In der Lösung steht jetzt, dass sich die Funktion nicht auf die form der ganzrationalen Funktionen bringen lässt und deshalb eben keine ist. Aber woran seh ich denn, dass es sich nicht auf dei Form bringen lässt?

Ich bitte um schnelle Hilfe!
Thx

25.09.2008, 17:37

Jacques

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Hallo,

Ich nehme an, Du meinst h(x) = x²/(x + 1)? Bitte Klammern setzen.

Zur Begründung:

„Naiv“ gesagt: Man kann den Bruch nicht so kürzen, dass man einen Term der Art

$\begin{eqnarray*} a_n\cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + \ldots + a_0 \end{eqnarray*}$

erhält.

Mathematisch korrekt formuliert: Der Nenner kann nur dann „weggekürzt“ werden, wenn jede seiner Nullstellen auch Nullstelle des Zählers ist. Das gilt hier nicht.

25.09.2008, 17:40

sunny290505

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sry wegen den klammern.

ja genau in die Form soll das gebracht werden. aber ich hab ehct kein plan von mathe, und weiß jetzt net wie du das meinst mit den nullstellen, woher weiß ich denn was die nullstelle vom nenner ist??

25.09.2008, 17:43

Jacques

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Die Nullstelle eines Terms ist eine Zahl, die man für x einsetzen kann, sodass der Term 0 wird.

Also die Nullstellen von x² - 1 wären etwa -1 und +1. Und die Nullstelle von x + 12 ist -12.

25.09.2008, 17:53

sunny290505

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ok. also in dem fall: wenn man für x² z.B -1 einsetzt kommt 1 raus, und dann ist es ja keine nullstelle. und deshalb hat der zähler nicht die gleiche nullstelle wie der nenner und deshalb ist es keine ganzrationale funktion??stimmt das so?

25.09.2008, 17:57

Jacques

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Ja, Du müsstest aber präziser formulieren: Es gilt nicht, dass jede Nullstelle des Nenners auch Nullstelle des Zählers ist, also lässt sich der Bruch nicht als Polynom schreiben -- und damit ist die Funktion auch nicht ganzrational.

Falls Dir der Begriff Linearfaktorzerlegung etwas sagt: Damit kann man das begründen.

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25.09.2008, 17:58

sunny290505

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ok. ja linearfaktorzerlegung kenn ich. dankeschön!!

25.09.2008, 18:10

sunny290505

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ok, ich bin doch zu blöd.
wie is das jetzt bei f(x)=1+ (wurzel aus 2)*x ???

25.09.2008, 18:13

Jacques

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Beachte die Definition einer ganzrationalen Funktion:

Man will Summen mit Summanden der Form

$\begin{eqnarray*} a \cdot x^n \end{eqnarray*}$

haben, wobei a eine reelle Zahl ist und n eine natürliche Zahl (einschließlich 0).

Ist der Funktionsterm von f eine Summe dieser Art?

25.09.2008, 18:17

sunny290505

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ja eigentlich schon oder? weil wurzel aus 2 ist eine reele zahl und damit das a und das n ist in dem fall ja 1 also natürlich.

25.09.2008, 18:21

Jacques

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Exakt!

Freude

$\begin{eqnarray*} 1+ \sqrt{2} \cdot x = \sqrt{2} \cdot x^1 + x^0 \end{eqnarray*}$

Also eindeutig ein Polynom.

Und wie wäre es bei

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1 + 2 \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

?

25.09.2008, 18:30

sunny290505

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Das dürfte ja jetzt nicht ganzrational sein, weil a (in dem Fall 2) nicht reell ist und n (das ist doch wieder 1 oder) ist schon natürlich. aber weil a nicht reell ist gehts net. oder??

ich bin mir net sicher..

25.09.2008, 18:34

Jacques

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Hm, ich glaube, Du verwechselst nur die Variablen. Kannst Du das nochmal korrigieren? a bezeichnet den Faktor vor der x-Potenz, und n ist der Exponent der x-Potenz.

Und 2 ist doch reell. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.09.2008, 18:39

sunny290505

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aber 2 ist doch a und 1 ist n? es ist doch x hoch 1 oder nicht?

25.09.2008, 18:44

sunny290505

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oder hat das was mit diesen wurzelgesetzen zu tun? war das nicht irgendiwe so das 2. wurzel aus x=x hoch 1/2 und 1/2 ist keine natürliche zalh
?? oder hat das nix miteinander zu tun. ich glaub ich verwechsel das mit logarithmus...

25.09.2008, 18:45

Jacques

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Tut mir leid, für die Verwirrung bin wohl ich verantwortlich. Ich habe nur die einzelnen Summanden betrachtet.

Hier hast Du natürlich eine Summe aus zwei Termen der Art

$\begin{eqnarray*} a \cdot x^{r} \end{eqnarray*}$

nämlich

$\begin{eqnarray*} 1 = 1 \cdot x^0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \sqrt{x} = \ ? \end{eqnarray*}$

Nun ist die Frage, ob eben beide Summanden in die Form

$\begin{eqnarray*} a \cdot x^n \end{eqnarray*}$

mit reellem Faktor a und natürlichem Exponenten n gebracht werden können.

Wie lauten Faktor a und Exponent r beim vorderen Summanden 1? Und wie beim hinteren Summanden?

// edit:

Zitat:

war das nicht irgendiwe so das 2. wurzel aus x=x hoch 1/2 und 1/2 ist keine natürliche zalh

Das ist des Rätsels Lösung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Man hat beim hinteren Summanden keinen natürlichen Exponenten (sondern einen rationalen).

25.09.2008, 18:50

sunny290505

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ja bei dem summanden 1 da ist doch gar kein x, dann geht das doch gar net oder?

25.09.2008, 18:53

Jacques

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Doch, 1 lässt sich durchaus in die Form

$\begin{eqnarray*} a \cdot x^n \end{eqnarray*}$

bringen:

$\begin{eqnarray*} 1 = 1 \cdot x^0 \end{eqnarray*}$

25.09.2008, 18:53

sunny290505

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die nächste aufgabe: f(x)=(x-1)² *(x-7)
da hab ich dann raus f(x)= x³-9x²+15x-7

das ist dann ganzrational, weil die einzelnen summanden immer der form a*x hoch n entsprechen. stimmt das so?

25.09.2008, 18:54

sunny290505

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achso stimmt. aber es geht nicht, weil bei dem zweiten summanden eben x hoch 1/2 kommt und das rational ist, stimmts?

25.09.2008, 19:00

Jacques

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Zitat:

Original von sunny290505

die nächste aufgabe: f(x)=(x-1)² *(x-7)
da hab ich dann raus f(x)= x³-9x²+15x-7

das ist dann ganzrational, weil die einzelnen summanden immer der form a*x hoch n entsprechen. stimmt das so?

Perfekt!

Freude

Zitat:

Original von sunny290505

achso stimmt. aber es geht nicht, weil bei dem zweiten summanden eben x hoch 1/2 kommt und das rational ist, stimmts?

Genauer formuliert: Rational und nicht natürlich.

Aber genau deshalb. Freude

Freude

25.09.2008, 19:04

sunny290505

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ok cool. soweit hab ichs verstanden. aber z.B. bei der aufgabe f(x)=x²-(3/x)
da kann ich doch dann das x hochholen dann ist das doch x² -3 * x hoch -1.
watrum ist das denn jetzt nicht ganzrational. das entspricht doch auch dieser form, oder nicht?

weil ich hab das lösungsbuch zu meinem mathebuch aber da stehen halt nur die ergebnisse ohne lösungsweg drin.

25.09.2008, 19:08

Jacques

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Zitat:

Original von sunny290505

ok cool. soweit hab ichs verstanden. aber z.B. bei der aufgabe f(x)=x²-(3/x)
da kann ich doch dann das x hochholen dann ist das doch x² -3 * x hoch -1.
watrum ist das denn jetzt nicht ganzrational. das entspricht doch auch dieser form, oder nicht?

Sicherlich kannst Du die 1/x als Potenz von x umschreiben, aber beachte, dass natürliche Exponenten gefordert werden! Also 0, 1, 2, 3, ...

-1 ist zwar ein ganzer, aber nicht-natürlicher Exponent.

25.09.2008, 19:10

sunny290505

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achso stimmt ja, also weil der exponent -1 ist und damit nicht natürlich, deshalb ist die funktion nicht ganz rational.

und deshalb ist die funktion f(x)=x² -(x/3) auch ganzrational, weil da der exponent von x, 1 und damit natürlich ist??

25.09.2008, 19:20

Jacques

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Ja genau, der Funktionsterm kann entsprechend umgeschrieben werden:

$\begin{eqnarray*} x^2 -\frac{x}{3} = 1 \cdot x^2 - \frac{1}{3} \cdot x^1 \end{eqnarray*}$

Das würde ich immer als Begründung dazuschreiben.

25.09.2008, 19:47

sunny290505

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ok super vielen dank. ich glaub ich habs verstanden. kannst du mir vllt noch kurz erklärn was da jetzt jeweils der grad und die koeffizienten sind?

25.09.2008, 20:09

Jacques

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Der Grad der Funktion ist der höchste Exponent einer x-Potenz. Wobei natürlich nur diejenigen x-Potenzen gezählt werden, deren Faktor nicht 0 ist.

Beispielsweise hat

$\begin{eqnarray*} f(x) = 4x^2 + 5 \end{eqnarray*}$

den Grad 2

und

$\begin{eqnarray*} f(x) = 3x^2 + 12x^5 - 1 \end{eqnarray*}$

hat den Grad 5.

Die Koeffizienten sind die Faktoren vor den x-Potenzen.

Beispielsweise hat

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2x^6 - 3x^2 + 4 \end{eqnarray*}$

die folgenden Koeffizienten:

$\begin{eqnarray*} a_6 = 2 \qquad a_5 = 0 \qquad a_4 = 0 \qquad a_3 = 0 \qquad a_2 = -3 \qquad a_1 = 0 \qquad a_0 = 4 \end{eqnarray*}$

Beachte, dass eine „durchgehende“ Summe der Art

$\begin{eqnarray*} a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \ldots + a_0 \end{eqnarray*}$

erwartet wird. Wenn also zwischendurch Summanden „fehlen“, dann kann man das nur damit erklären, dass der entsprechende Koeffizient 0 ist und der Summand deswegen nicht erscheint.

25.09.2008, 20:24

sunny290505

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ok. das ist dann auch klar. vielen dank!!! Wink

Wink

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