Unitäre Matrix

01.07.2006, 22:38

Bjoern1982

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Unitäre Matrix

Hi

Sei A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1+i & 0 \\ 1-i & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gesucht ist nun eine unitäre Matrix $\begin{eqnarray*} S\in M_{3,3}(R) \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} S'^tAS \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix ist.

Die Eigenwerte habe ich bereits bestimmt.
Sie lauten 4 und 1, wobei 4 eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.

Für die gesuchte Matrix spielen ja bestimmt die Eigenvektoren wieder eine Rolle, aber ich weiss nicht wie ich sofort miteinbeziehen kann, dass man eine unitäre Matrix sucht.

Klar kann ich am Ende dann überprüfen, falls ich als Spalten der gesuchten unitären Matrix die Eigenvektoren von A nehme, ob diese Matrix dann auch unitär ist, sprich ob deren Inverse auch der Transponierten von S entspricht.

Aber das ist ja mit Sicherheit nicht der übliche Weg.

Hat jemand vielleicht nen Tip für mich?

Gruß Björn

02.07.2006, 00:33

tigerbine

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RE: Unitäre Matrix
Sorry, zu der späten Stunde verstehe ich gerade dein Problem nicht.

Du hast das Verfahren doch beschrieben. Eigenwerte - Eigenvektoren - Matrix

Was scheint daran falsch? Gesucht ist eine MAtrix, also gibt man eine an die diese Bedingungen erfüllt.

Interessanter ist die Frage, ob es zu jeder komplexen Matrix eine solche unitäre Matrix gibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.07.2006, 00:42

Bjoern1982

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Hallo tigerbine

Danke für deine Antwort.

Zitat:

Gesucht ist eine MAtrix, also gibt man eine an die diese Bedingungen erfüllt.

Mir gefällt nur die Tatsache nicht, dass ich dafür denselben Ansatz nehme, als wenn nach einer allgemeinen Matrix S gefragt ist (ohne die zusätzliche Eigenschaft unitär) und dann am Ende gucke, ob diese auch unitär ist.
Das überprüf ich ja erst im nachhinein, aber wenn diese dann doch nicht Eigenschaft für eine unitäre Matrix hat war ja alles umsonst...

Zitat:

Interessanter ist die Frage, ob es zu jeder komplexen Matrix eine solche unitäre Matrix gibt

Das denke ich auch, da man ja damit gezielter argumentieren könnte.

Gruß Björn

02.07.2006, 00:48

tigerbine

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Tja, warum mag die Matrix S wohl unitär sein? Deine Matrix A hat ja auch eine spezielle Form Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sie ist hermitisch Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.07.2006, 01:05

Bjoern1982

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Hehe, hab mir gerade nochmal was über hermitesche Matrizen durchgelesen.

Alles klar, danke für den Tip.

Bekomme allerdings nur 2 linear unabhängige Eigenvektoren heraus, wie konstruiere ich mir denn den dritten?

Gruß Björn

02.07.2006, 01:16

tigerbine

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Gib mal die Vektoren an smile

smile

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02.07.2006, 01:19

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1-i \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_2=\begin{pmatrix} -1-i \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hab jetzt für die dritte Komponente null genommen, könnte aber meiner Meinung nach auch irgendeine andere beliebige Zahl sein.

02.07.2006, 01:29

tigerbine

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Also ich bekomm folgendes raus

$\begin{eqnarray*} v_{1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}(i+1) \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_{2} = \begin{pmatrix} \ -1-i \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_{3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.07.2006, 01:32

Bjoern1982

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Aber dein LGS zum Eigenwert 4 lautet doch auch:

-2a+(1+i)b=0

(1-i)a-b=0

Oder nicht?

02.07.2006, 01:47

tigerbine

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Habs gerade editiert. Passt jetzt?

02.07.2006, 01:58

Bjoern1982

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Naja, siehst ja, dass das bei mir etwas anders aussieht.

Hast du den dritten Eigenvektor willkürlich gewählt, so dass die drei Vektoren linear unabhängog sind ?

02.07.2006, 02:01

tigerbine

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Ehrlich gesagt, hab ich sie mir von maple ausspucken lassen. Da sind die Ergebissse manchmal etwas verschachtelt, deswegen der Edit.

Vorschlag, ich rechne es bis morgen früh und poste es dann. ist mir jetzt zu spät Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.07.2006, 02:04

Bjoern1982

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Ich danke dir für deine Mühe smile

smile

Dann schlaf gut, bis morgen (nachher) Wink

Wink

Gruß Björn

02.07.2006, 04:15

tigerbine

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Da ich ein Langschläfer bin... doch noch ein Betthupferl...

Also die Vektoren wie vorher berechnet. Dann gilt für

$\begin{eqnarray*} v_{1} \end{eqnarray*}$ : 2*(0.5)*(1+i) + (1+i)*1 = 2*(i+1) = 4*(0.5)(1+i)

(1-i)*0.5*(1+i) + 3*1 = 0.5*(1+1) + 3 = 4*1
0 = 0

Also für den Eigenwert 4 passt das.

$\begin{eqnarray*} v_{2}: \end{eqnarray*}$ 2*(-1-i) + (1+i)*1 = -2 - 2i + 1 + i = 1*(-1-i)
(1-i)(-1-i) + 3*1 = -(1-i)(1+i) + 3 = -(1+1) + 3 = 1*1
0=0

Also für den Eigenwert 1 passt das.

$\begin{eqnarray*} v_{3} \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich.

Wegen 0.5(1+i) ungleich -1 - i sind $\begin{eqnarray*} v_{1},v_{2} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Gruß Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.07.2006, 10:37

Mazze

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Zitat:

Mir gefällt nur die Tatsache nicht, dass ich dafür denselben Ansatz nehme, als wenn nach einer allgemeinen Matrix S gefragt ist (ohne die zusätzliche Eigenschaft unitär) und dann am Ende gucke, ob diese auch unitär ist.

Deine Matrix ist Hermitesch , es gilt also

$\begin{eqnarray*} A^H = A \end{eqnarray*}$

Daraus folgt sofort das es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren gibt.
Du musst dann Deine Eigenvektoren nur noch normieren (sie bleiben dadurch Eigenvektoren) und erhällst dann deine unitäre Transformationsmatrix.

02.07.2006, 13:55

tigerbine

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Zitat:

Mir gefällt nur die Tatsache nicht, dass ich dafür denselben Ansatz nehme, als wenn nach einer allgemeinen Matrix S gefragt ist (ohne die zusätzliche Eigenschaft unitär) und dann am Ende gucke, ob diese auch unitär ist.

Aber es ist der selbe Ansatz. Mazze hat ja dann auch schon den Spektralsatz für hermitische Matrizen ins Spiel gebracht. und der sagt dir eben: FREUE DICH - In diesem Fall löst sich die i.A. schwierige Aufgabe der Bestimmung der Inversen Matrix zu S in Wohlgefallen auf. Da S unitär ist, ist die Inverse gleich der "komplex konjugierte, transponierten" Matrix von S.

Also, prüfe die Vektoren als Eigenvektoren nach und normiere iwe mazze angegeben hat

02.07.2006, 20:06

Bjoern1982

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Alles klar, danke euch beiden smile

smile

Eine letzte Frage noch:

Muss ich die Eigenvektoren jetzt nur noch durch ihre Länge dividieren oder muss ich sie durch das Gram-Schmidt-Verfahren orthonormieren?

Ach ja, und die Wahl des dritten Eigenvektors ist mir nicht ganz klar.

02.07.2006, 20:24

tigerbine

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Also, v3 = (0,0,1)^T zu wählen liegt doch bei der Matrix auf der Hand. Die dritte Spalte ist (0,0,4)^T und das Bild des dritten Basisvektors e3 = (0,0,1)^T. Deswegen die Wahl von v3.

Nun, du brauchchst dann die Vektoren nur noch zu normieren! Der Spektralsatz hat dir ja schon geliefert, dass sie orthogonal sind Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß

03.07.2006, 11:15

Bjoern1982

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In Ordnung, danke nochmals

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