Kugelkoordinaten

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gessi Auf diesen Beitrag antworten »
Kugelkoordinaten
Ich habe die Zuordnung
für die Umrechnung von Kugelkoordinaten in kartesische.

Nun soll ich aber die Kugelkoordinaten als Funktion der kartesischen Koordinaten angeben.

Ich habe versucht, sie selber herzuleiten. Allerdings kann ich das als Gleichungssystem wegen dem ganzen sin und cos nicht lösen.
Darum habe ich versucht, mir das ganze graphisch darzustellen. Ist es richtig, dass den Winkel in der xy-Ebene und den Winkel zur z-Achse beschreibt?
Aber dann komme ich auch nicht weiter.

Eigentlich sollte ich auch die Herleitung haben und nicht nur die Formel.
Allerdings würde mir auch die richtige Formel was bringen, denn man soll damit noch weiterarbeiten (ableiten).

Ich habe mal im Internet geschaut und ungefähr soviele Varianten wie Seiten für die Formeln der Winkel gefunden.


Außerdem habe ich noch:
Sei f eine skalare Funktion. Geben Sie die Komponenten des Gradienten (hier kommt dieses Dreieck auf der Spitze) f bezüglich der lokalen Basis (normierte Tangentialvektoren an die Kugelkoordinaten) als Funktion der Kugelkoordinaten an.
Über lokale Koordinaten stand in einer anderen Aufgabe: "Unter der Beschreibung eines Vektors in lokalen Koordinaten verstehen wir seine Komponenten in östlicher, nördlicher und vertikaler Richtung."
Was ist überhaupt eine skalare Funktion?
Und was ist ein Tangentialvektor an die Kugelkoordinaten?


Ich verstehe bei diesem Blatt nicht wirklich viel. Kugelkoordinaten, lokale Koordinaten usw. hatten wir in der Vorlesung noch nie (ganz kurz mal Polarkoordinaten), sie wurden erst auf dem Übungsblatt eingeführt.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugelkoordinaten
Zitat:
Original von gessi
Darum habe ich versucht, mir das ganze graphisch darzustellen. Ist es richtig, dass den Winkel in der xy-Ebene und den Winkel zur z-Achse beschreibt?

Ja.

Zitat:
Original von gessi
Aber dann komme ich auch nicht weiter.

Naja, für nimmst du eben die x- und y-Koordinaten und betrachtest das rechtwinklige Dreieck mit Ursprung und einer der beiden Achsen. Was angeht, ist die z-Koordinate und der Betrag des Vektors in der x-y-Ebene interessant, oder eben auch andere größen, es gibt ja ein paar trigonometrische Funktionen...
gessi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe jetzt (das ist ja einfach der Betrag von diesem Vektor) und über den Schnittwinkel von x-Achse und Vektor. Bei komme ich allerdings nicht so ganz hin. Das, was für mich logisch aussieht, widerspricht der Formel, die ich gefunden habe. Ich käme auf . Aber da stört mich der cos und das z^2. Wieso darf ich den Betrag in der xy-Ebene betrachten?

Wie kann ich arccos ableiten? Ich soll berechnen. Kann man das irgendwie "handlicher" umschreiben?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gessi

Das ist falsch.

Zitat:
Original von gessi
Ich käme auf .

Das ist richtig.

Zitat:
Original von gessi
Aber da stört mich der cos

Es gibt doch den Arkuskosinus.

Zitat:
Original von gessi
und das z^2.

Warum?

Zitat:
Original von gessi
Wieso darf ich den Betrag in der xy-Ebene betrachten?

Warum nicht?

Zitat:
Original von gessi
Wie kann ich arccos ableiten?

Mit der Regel für die Umkehrfunktion:

gessi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
Zitat:
Original von gessi

Das ist falsch.


Ups. Ich meinte . Stimmt das?

Zitat:
Zitat:
Original von gessi
Ich käme auf .

Das ist richtig.

Zitat:
Original von gessi
Aber da stört mich der cos

Es gibt doch den Arkuskosinus.

Zitat:
Original von gessi
und das z^2.

Warum?


Ich hab halt nach Formeln dafür gesucht und die waren alle ohne ein z^2 und mit arctan oder arccot (darauf bezog sich, dass mich der cos stört).
Aber wenn das stimmt, freu ich mich natürlich smile

Zitat:
Zitat:
Original von gessi
Wieso darf ich den Betrag in der xy-Ebene betrachten?

Warum nicht?


Weil ich doch eigentlich den ganzen Vektor betrachte, und der hat doch auch eine z-Komponente.
Wenn die Formel stimmt, wozu brauche ich dann noch, dass ich den Betrag in der xy-Ebene betrachte?

Zitat:
Zitat:
Original von gessi
Wie kann ich arccos ableiten?

Mit der Regel für die Umkehrfunktion:



Aha... Sowas haben wir auch aufgeschrieben, aber in der Formel kam dann noch y vor und wenn ich das Skript richtig verstehe, muss ich ja in dem Fall y kennen und x suchen.

Wie kommst du von der letzten auf die vorletzte Zeile?

Wenn ich jetzt mein nach dieser Regel ableite, komme ich auf
Aber dann? Muss ich dann noch irgendwie (wie?) eine innere Ableitung machen. Sonst wäre ja und das kann ja wohl kaum sein.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gessi
Ups. Ich meinte . Stimmt das?

Ja.

Zitat:
Original von gessi
Ich hab halt nach Formeln dafür gesucht und die waren alle ohne ein z^2 und mit arctan oder arccot (darauf bezog sich, dass mich der cos stört).

Ich habe doch gesagt, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, die entsprechenden Winkel darzustellen.

Zitat:
Original von gessi
Wenn die Formel stimmt, wozu brauche ich dann noch, dass ich den Betrag in der xy-Ebene betrachte?

Es gibt eben, wie gesagt, mehrere Möglichkeiten.

Zitat:
Original von gessi
Wie kommst du von der letzten auf die vorletzte Zeile?



Zitat:
Original von gessi
Wenn ich jetzt mein nach dieser Regel ableite, komme ich auf

Es ist

,

dann verwendest du eben Quotienten- und wieder Kettenregel.
 
 
gessi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)


Ist das eine Definition oder kann man das irgendwie herleiten?

Zitat:

Es ist

Intuitiv hätte ich da auch noch eine innere Ableitung gemacht... aber mathematisch begründet: ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugelkoordinaten
Zitat:
Original von gessi
Ist es richtig, dass den Winkel in der xy-Ebene und den Winkel zur z-Achse beschreibt?
Aber dann komme ich auch nicht weiter.

Prinzipiell würde ich dem zustimmen. Wenn aber der Winkel zwischen z-Achse und der xy-Ebene ist, dann müßte die Zuordnung so lauten:



Anders gesagt: wenn der Winkel ist, dann bewegt man sich ausschließlich in der xy-Ebene. Das heißt, die 3. Komponente ist dann Null.

EDIT: Nochmal zu : Vermutlich soll der Winkel zwischen dem Vektor (x, y , z) und seiner Projektion auf die xy-Ebene sein. War oben etwas ungenau.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gessi
Ist das eine Definition oder kann man das irgendwie herleiten?

(Einheitskreis!) und daher , zumindest auf , und Anderes ist beim Arkuskosinus als Argument ohnehin nicht da.

Zitat:
Original von gessi
Intuitiv hätte ich da auch noch eine innere Ableitung gemacht...

Da steht sie doch rechts. Du musst sie eben noch bilden.

Zitat:
Original von klarsoweit
Wenn aber der Winkel zwischen z-Achse und der xy-Ebene ist,

verwirrt Der ist immer 90 Grad...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
Zitat:
Original von klarsoweit
Wenn aber der Winkel zwischen z-Achse und der xy-Ebene ist,

verwirrt Der ist immer 90 Grad...

Buhuu. traurig
Ich meinte den Winkel zwischen dem Vektor (x, y , z) und seiner Projektion auf die xy-Ebene.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

wird in Kugelkoordinaten aber i.d.R. als Winkel zwischen z-Achse und Vektor definiert.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugelkoordinaten
Hmm. Ich bin mir relativ sicher, daß ich das damals anders gelernt habe. Sprich: wenn ist, dann ist der Vektor in der xy-Ebene und nicht auf der z-Achse. Aber wie dem auch sei. Dann stimmt das trotzdem nicht:

Zitat:
Original von gessi
Ich habe die Zuordnung
für die Umrechnung von Kugelkoordinaten in kartesische.


Denn wenn man die Quadrate der Koordinaten addiert, müßte r² rauskommen.

EDIT: hab mal ein bißchen rumgesucht. gibt tatsächlich den Winkel zwischen dem Vektor und der z-Achse an. Da muß ich mal in meinen Unterlagen suchen. Ist eben schon einige Jahre her. Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
Zitat:
Original von gessi
Ups. Ich meinte . Stimmt das?

Ja.

Nein, es stimmt i.a. nicht. unglücklich

Während aus und sofort auf geschlossen werden kann, klappt das hier für mit dem Vollwinkelbereich (oder alternativ oder wie auch immer...) eben nicht einfach durch Anwendung einer Arcus-Winkelfunktion!

Es ist das übliche Winkelproblem bei der zweidimensionalen Polarkoordinatenberechnung - viele Programmiersprachen (besser gesagt: deren Bibliotheken) haben extra zu diesem Zweck die Funktion ins Repertoire aufgenommen, warum wohl...


EDIT: Ach ja, generell zur Transformation: Entweder

mit

oder

mit

sowie aus irgendeinem Vollwinkelbereich (s.o.), so klappt es. Eine "Mischform" wie im Eröffnungsbeitrag geht jedenfalls nicht, da hat klarsoweit völlig recht.
gessi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
EDIT: Ach ja, generell zur Transformation: Entweder

mit

oder

mit

sowie aus irgendeinem Vollwinkelbereich (s.o.), so klappt es. Eine "Mischform" wie im Eröffnungsbeitrag geht jedenfalls nicht, da hat klarsoweit völlig recht.


Meinst du mit "Mischform" die Zuordnung, die ich angegeben habe? Die hab ich mir nicht selber ausgedacht... stand halt so auf dem Blatt, zum Definitionsbereich war nichts gesagt (ich glaube, wir sollten ihn selber rausfinden Augenzwinkern )
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