Extremwerte im Mehrdimensionalen

02.07.2006, 13:35

Paul_H

Extremwerte im Mehrdimensionalen

Folgende Funktion habe ich auf lokale Extrema zu untersuchen:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = y \cdot cosx - \frac{1}{3} y^3 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mal, ich habe hier keinen blöden Denkfehler gemacht und der Gradient

$\begin{eqnarray*} grad f = \begin{pmatrix}-y \cdot sinx \\ cosx - y^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist richtig.

Dann hätten wir Extrema in den Punkten $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ((2n+1)\frac{\pi}{2} , 0), n \in N. \end{eqnarray*}$

Nun muss ich also noch die Hessmatrix auf Definitheit untersuchen.

Meine Hess sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} Hessf = \begin{pmatrix} -ycosx & -sinx \\ -sinx & -2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da hab ich jetzt aber schon mein erstes Problem. Muss denn diese Hess-Matrix nicht symmetrisch sein?

Wo habe ich einen Fehler gemacht?

02.07.2006, 13:38

Ali.G

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also symmetrisch ist sie auf jedenfall schonmal!

02.07.2006, 13:40

Calvin

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RE: Extremwerte im Mehrdimensionalen
Deine Hessematrix ist doch symmetrisch zur Hauptdiagonale Augenzwinkern

Also alles richtig Freude

EDIT
Ups, wenn ich schon kurze Pause beim Schreiben machen muss, sollte ich mal auf Vorschau drücken um zu sehen, ob jemand schneller war als ich Augenzwinkern

02.07.2006, 13:42

Paul_H

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Ah ja?
Dann hab ich die Definition von Symmetrie bei einer Matrix falsch verstanden.

Wie mache ich denn jetzt eigentlich weiter?
Ich muss die Determinante bestimmen, oder?

Setze ich dann in die Determinante meine Extrempunkte ein?

02.07.2006, 13:46

Calvin

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RE: Extremwerte im Mehrdimensionalen

Zitat:

Original von Paul_H
Dann hätten wir Extrema in den Punkten $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$

Mir fällt gerade noch auf, dass du hier nicht alle Möglichkeiten für die x-Komponente gefunden hast. Wenn $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann hast du für die x-Komponente die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sin{x}=0 \end{eqnarray*}$ zu lösen.

Für den weiteren Verlauf ist dein Ansatz richtig. Determinante bestimmen und die möglichen Extrempunkte einsetzen. Du brauchst aber noch zusätzlich den linken oberen Wert in der Hessematrix, um zu sehen, ob die Matrix positiv oder negativ definit ist.

02.07.2006, 14:33

Paul_H

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thx@Calvin, der zweite Extrempunkt muss also lauten: $\begin{eqnarray*} (2n \pi , 1), n\in N\backslash{{0}} \end{eqnarray*}$

Die Determinante ist dann $\begin{eqnarray*} 2y^{2} cosx - sin^{2}x \end{eqnarray*}$

So, nun setze ich meine Extremstellen ein, zuerst in den ersten Eintrag der Matrix, $\begin{eqnarray*} -ycosx \end{eqnarray*}$ , und dann in die Determinante.

Für $\begin{eqnarray*} (2n \pi, 1) \end{eqnarray*}$ erhalte ich $\begin{eqnarray*} -1, 2 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} ((2n+1) \frac{\pi}{2} , 0) \end{eqnarray*}$ erhalte ich $\begin{eqnarray*} 1, 0 \end{eqnarray*}$ .

Ich wäre demjenigen sehr dankbar, der mir diese Ergebnisse deuten könnte.
Nach meiner Literatur prüfe ich mit diesem Determinanten-Kriterium die Matrix nur darauf, ob sie positiv definit ist. Das ist sie ja nicht, für keine der beiden Extremstellen.
Ist sie dann für den ersten Wert indefinit und für den zweiten positv semidefinit oder muss ich genau diese Eigenschaften nun auf anderem Weg zeigen?

02.07.2006, 14:54

Calvin

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Zitat:

Original von Paul_H
thx@Calvin, der zweite Extrempunkt muss also lauten...

Mal eine kleine Korrektur zu deiner Formulierung. Das, was du berechnet hast, ist noch keine Extremstelle. Es ist lediglich möglich, dass an dieser Stelle ein Extrempunkt ist. Ob es tatsächlich ein Extrempunkt ist, musst du ja mit der hinreichenden Bedingung noch bestimmen.

Zitat:

für $\begin{eqnarray*} ((2n+1) \frac{\pi}{2} , 0) \end{eqnarray*}$ erhalte ich $\begin{eqnarray*} 1, 0 \end{eqnarray*}$

Die Berechnung der Determinante ist IMHO nicht richtig. Was ist denn $\begin{eqnarray*} \sin^2{\left(\left(2n+1\right)\frac{\pi}{2}\right)} \end{eqnarray*}$ .

Und deine Definition von positiv/negativer Definitheit ist IMHO auch nicht richtig. Müsste aber selbst nochmal nachschauen. Dafür ist aber jetzt keine Zeit mehr. Ich gehe jetzt das schöne Wetter geniessen.

Macht bitte jemand anderes weiter Wink

02.07.2006, 15:56

Paul_H

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Schon gut.
Ich habe hier eine hinreichende Bedingung zur Bestimmung der Extremstellen in einem Skript entdeckt, und zwar:

i) Wenn detHess f(x) < 0 ist, hat f in x kein lokales Extremum.
ii) Wenn detHess f(x) > 0 ist, dann hat f in x ein striktes lokales Extremum und
zwar
a) ein Maximum, wenn $\begin{eqnarray*} D^{2}_{1}f(x) >0 \end{eqnarray*}$

b) ein Minimum, wenn $\begin{eqnarray*} D^{2}_{1}f(x) <0 \end{eqnarray*}$

Da ich für die erste Extremstelle eingesetzt in die Determinante -1 rausbekomme, gibt es an der Stelle $\begin{eqnarray*} ((2n+1) \frac{\pi}{2} , 0) \end{eqnarray*}$ keine Extremstelle,

und an der Stelle $\begin{eqnarray*} (2n\pi, 1) \end{eqnarray*}$ ein Minimum, da in die erste Stelle der Hesse-Matrix eingestzt -1<0 rauskommt

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