DGL-System

02.07.2006, 18:12

el_studente

DGL-System

Hallo,

hab selten so wenig Land gesehen, wie bei dieser Aufgabe hier:

lin. DGL-System gegeben

$\begin{eqnarray*} x'=y+z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'=z+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z'=x+y \end{eqnarray*}$

Jetzt soll eine Transformationsmatrix A gefunden werden, um des DGL-Sys zu entkoppeln. (??? Was wovon entkoppeln ???)

Dann soll die allg. Lösung bestimmt werden.

Zum Schluß soll noch die spez. Lsg. für die AW x(0) = y(0) = z(0) = 1 bestimmt werden.

Habe nur wenige Grundlagenkenntnisse bezüglich DGL's. (Hier gehts auch wohl um Eigenvektoren und solche Geschichten)

Wie gesagt, verstehe nur Bahnhof und wäre für einen "Lösungsablaufplan" sehr dankbar!

02.07.2006, 19:55

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In Vektoren $\begin{eqnarray*} \xi=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ geschrieben, hast du eine DGL $\begin{eqnarray*} \xi'=A\xi \end{eqnarray*}$ mit einer 3x3-Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ vorliegen. Die hat die Lösung $\begin{eqnarray*} \xi(t)=e^{At}\xi(0) \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} e^{At} \end{eqnarray*}$ kann man mit der (hoffentlich existenten) Diagonalisierung $\begin{eqnarray*} A=U\Lambda U^{-1} \end{eqnarray*}$ dann gemäß $\begin{eqnarray*} e^{At}=Ue^{\Lambda t}U^{-1} \end{eqnarray*}$ berechnen. Und letzteres lässt sich für

$\begin{eqnarray*} \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda_2 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

einfach berechnen gemäß

$\begin{eqnarray*} e^{\Lambda t} = \begin{pmatrix} e^{\lambda_1 t} & 0 & 0\\ 0 & e^{\lambda_2 t} & 0\\ 0 & 0 & e^{\lambda_3 t}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

So oder ähnlich hast du es sicher in deiner Vorlesung auch gehört, also fang mal an mit der Aufstellung der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ !

02.07.2006, 19:59

el_studente

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also A müsste

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sein

02.07.2006, 20:00

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Richtig - und jetzt weiter voran!

02.07.2006, 20:06

el_studente

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Zitat:

Diagonalisierung A=U\Lambda U^{-1}

entschuldige, aber wo gehts jetzt weiter?

03.07.2006, 08:58

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Wie ich sehe, machst du in Hinsicht auf die Diagonalisierung gerade einen Exkurs in die dazu nötige lineare Algebra. Daher nehme ich an, du weißt, wie es hier vorerst weitergeht.

03.07.2006, 10:10

el_studente

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Nein, leider weiß ich das nicht.

Die Sache mit der Entkopplung ist mir völlig unklar.

Hätte aber einen anderen Lösungsweg anzubieten:

Das charakt. Polynom ist $\begin{eqnarray*} det(A-\lambda E)=\begin{vmatrix} 0-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 0-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 0-\lambda \end{vmatrix}=-\lambda^3+3\lambda+2 \end{eqnarray*}$ .
Die EW sind -1; -1; 2

Die Eigenvekt. sind $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist die allgm.Lsg. $\begin{eqnarray*} y_a=\alpha \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}e^{-x}+\beta \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}e^{-x}+ \gamma \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}e^{2x} \end{eqnarray*}$ .

Aber wie gesagt, ich soll ja eigentlich irgenwen/wie/wo/was entkoppeln!?!

03.07.2006, 10:36

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Letztendlich ist das alles eine Frage der Schreibweise, ich nehme mal Bezug auf die Symbolik meines Beitrages oben:

Deine Eigenvektoren sind die Spaltenvektoren einer möglichen Transformationsmatrix $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , d.h., $\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Zusammen mit der Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} \Lambda = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ haben wir dann gerade eine solche Diagonalisierung $\begin{eqnarray*} A=U\Lambda U^{-1} \end{eqnarray*}$ . Und mit "Entkopplung" ist eben die Transformation $\begin{eqnarray*} \eta=U^{-1}\xi \end{eqnarray*}$ gemeint, denn das daraus entstehende DGL-System $\begin{eqnarray*} \eta'=\Lambda \eta \end{eqnarray*}$ kann gemäß Diagonalmatrix-Struktur von $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ komponentenweise geschrieben werden, als drei "entkoppelte" einfache DGL:

$\begin{eqnarray*} \eta_1' &=& -\eta_1\\ \eta_2' &=& -\eta_2\\ \eta_3' &=& 2\eta_3 \end{eqnarray*}$ .

Die Rücktransformation $\begin{eqnarray*} \xi=U\eta \end{eqnarray*}$ liefert dann gerade die von dir angegebene Lösung - hoffe ich jedenfalls (hab deine Angaben nicht im einzelnen überprüft).

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