Ungleichungen mit zwei Beträgen

02.07.2006, 20:58

MarkusD

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Ungleichungen mit zwei Beträgen

Hallo Leute ,
ich bin grad dabei Ungleichungen zu üben . Leider bin ich auf einen Aufgaben Typ gestoßen , bei welchem ich einfach keinen Ansatz finde ...
(es dreht sich darum wenn auf beiden Seiten der Ungleichung ein Betrag steht ) . Hier mal die aufgabe ...

$\begin{eqnarray*} \mid x-1 \mid \geq \mid x+2 \mid \end{eqnarray*}$

hoffe es kann mir jemand weiterhelfen .

02.07.2006, 21:02

Daktari

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setz mal |.| = $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ (.)

hilft dir das weiter?

EDIT: Sagt dir "Methode nach Knapp" etwas ?

02.07.2006, 21:08

MarkusD

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Nein sagt mir absolut nichts ... sorry .

02.07.2006, 21:19

Daktari

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1.)Schritt schreibe statt " $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ " ein "="
2.)ersetze |.| durch $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ (.)
du hast hier 2 Betragsstriche, also gibts 4 Möglichkeiten zum ausprobieren
Löse dann die "entstandene" Gleichung
3.)mach dir eine Zahlengerade mit den Lösungen aus Schritt 2
und setz dann Werte ein, die zwischen bzw. "rechts und links" deiner Lösung stehen. (Punktprobe)
4.)Führt die Punktprobe an einer Stelle zu einem Widerspruch z.B. 3>5, dann gehört dieser "Bereich" nicht zur Lösungsmenge deiner "Originalaufgabe" smile

smile

Hört sich komplizierter an, als es ist. Verstehste aber was ich meine?
Probier's doch einfach mal und wenn du Problm hast, dann poste deine Frage hier im board Willkommen

Willkommen

02.07.2006, 21:23

Daktari

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"Tip"

In Schritt 2.) zu Lösen ist u.A. die Gleichung
$\begin{eqnarray*} -(x-1) = +(x+2) \end{eqnarray*}$

02.07.2006, 21:23

MarkusD

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OK ... ich probiers ...

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02.07.2006, 21:33

papahuhn

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Alternativ kannste mal $\begin{eqnarray*} (x-1)² \geq (x+2)² \end{eqnarray*}$ lösen.

02.07.2006, 21:40

Daktari

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Zitat:

Original von papahuhn
Alternativ kannste mal $\begin{eqnarray*} (x-1)² \geq (x+2)² \end{eqnarray*}$ lösen.

Welche Methode ist das ? verwirrt

verwirrt

Diese kenn (zumindest) ich nicht

02.07.2006, 21:45

papahuhn

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Ich kenne den Namen dafür nicht.

02.07.2006, 21:52

AD

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Nennt sich "äquivalent umformen". Augenzwinkern

Augenzwinkern

Meistens quadrieren die Leute gedankenlos, und handeln sich Ärger ein. Hier bei den Beträgen, wo es wirklich eine äquivalente Umformung ist, haben sie plötzlich Scheu davor...

02.07.2006, 21:56

Daktari

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was findet ihr leichter "Kapp" oder "äquivalentes umformen" ?

02.07.2006, 22:00

Leopold

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In diesem Spezialfall kann man sich das auch gut vorstellen.

$\begin{eqnarray*} |x-1| = \text{Abstand von} \ x \ \text{zu} \ 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x+2| = \text{Abstand von} \ x \ \text{zu} \ -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x-1| \geq |x+2| \ \ \Leftrightarrow \ \ \text{Abstand von} \ x \ \text{zu} \ 1 \ \geq \ \text{Abstand von} \ x \ \text{zu} \ -2 \end{eqnarray*}$

Da überlegt man sich jetzt am besten zunächst, für welches $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Abstand zu $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ gerade gleich ist. Und in welche Richtung geht es dann weiter weg von der $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Meistens quadrieren die Leute gedankenlos, und handeln sich Ärger ein. Hier bei den Beträgen, wo es wirklich eine äquivalente Umformung ist, haben sie plötzlich Scheu davor...

Ja, schon irgendwie merkwürdig ... verwirrt

verwirrt

02.07.2006, 22:02

MarkusD

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1 Gl x + 1 = x + 2
2 Gl x - 1 = x - 2
3 Gl x - 1 = x + 2
4 Gl x + 1 = x - 2

das sind jetzt die vier Gleichungen ... hoffe mal das is soweit korrekt .

02.07.2006, 22:03

Daktari

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@ Leopold

Besteht beim "probieren" bzw. Überlegen nicht die Gefahr, dass Lösungen unter den Tisch fallen.

Ich selbst bevorzuge "Kapp", habs ja schließlich nur so gelernt Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.07.2006, 22:04

Sunwater

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du musst noch beachten in welchen bereichen, welche Gleichungen gelten, denn manchmal bekommst du zwar ne Lösung, aber deine Gleichung gilt gar nicht für die Lösung...

02.07.2006, 22:08

Leopold

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Zitat:

Original von Daktari
was findet ihr leichter "Kapp" oder "äquivalentes umformen" ?

Warnung! Rezeptmathematik! Das geht meistens schief.

Man muß die dem Problem angemessene Methode finden. Hier ist es das Quadrieren, weil das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten wegfällt. Das muß aber nicht zwangsläufig so sein, so daß in anderen Situationen die mühsame Fallunterscheidung doch die bessere Methode ist.

Und "Methode von Kapp" ... noch nie gehört!
Ich kann nur ganz allgemein vor solchen Rezepten warnen. Meine Erfahrung ist, daß Leute die oftmals strengen Voraussetzungen, unter denen solche Rezepte gelten, nicht beachten und sie dann auch in Situationen anwenden, wo sie gar nicht mehr passen: die vollendete Katastrophe!

02.07.2006, 22:20

Daktari

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$\begin{eqnarray*} \pm (x-1)=\pm (x+2) \end{eqnarray*}$

Liefert
Fall 1.) ++ --> $\begin{eqnarray*} x-1=x+2 \Rightarrow -1=2 \end{eqnarray*}$ WIDERSPRUCH
Fall 2.) +- --> $\begin{eqnarray*} x-1=-x-2 \Rightarrow 2x=-1 \end{eqnarray*}$ --> x=-0,5
Fall 3.) -- --> $\begin{eqnarray*} -x+1=-x-2 \Rightarrow 1=-2 \end{eqnarray*}$ WIDERSPRUCH
Fall 4.) -+ --> $\begin{eqnarray*} -x+1=x+2 \Rightarrow 2x=-1 \end{eqnarray*}$ -->x=-0,5

Damit steht auf deinem Zahlenstrahl nur x=-0,5

Für x=-0,5 gilt $\begin{eqnarray*} \mid x-1 \mid \geq \mid x+2 \mid \end{eqnarray*}$
Um rauszufinden ob sie auch für Zahlen gilt die größer oder kleiner als x sind, reicht eine Punkltprobe z.B. mit x=0 und x=-1

02.07.2006, 22:31

MarkusD

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Das hab ich auch raus ... Danke viemals . Werd noch etwas üben und gg. falls noch die andere Methode probieren .

02.07.2006, 22:36

Leopold

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Man bestimmt also sozusagen die Nullstellen der für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetigen Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left| x - 1 \right| \ - \ \left| x + 2 \right| \end{eqnarray*}$

und dann das Vorzeichen in den durch die Nullstellen bestimmten offenen Intervallen durch Punktprobe (Kontraposition des Zwischenwertsatzes). Und das nennt sich dann Methode von Kapp.

Nicht unelegant und nicht so rechenfehleranfällig wie eine Folge von verketteten Fallunterscheidungen.

02.07.2006, 23:29

MarkusD

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Welche analytischen Möglichkeiten einer Probe habe ich ?

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