Die Trapezregel, das h und das O(h) |
26.09.2008, 10:42 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Trapezregel, das h und das O(h) Will man diese Eigenschaft überprüfen, so muss man sich die Fehlerdarstellung anschauen. Bei der Trapezregel: (*) Der erste Faktor hängt nur von der Intervalllänge ab, ist also konstant. Der zweite wird eben für alle Null. Daher ist die Ordnung (mindestens) 2. Schauen wir uns nun die summierte Trapezregel an, bei der das Intervall [a,b] in n Teilintervalle der Länge h unterteilt wird. (**) Wieder ist der Faktor mit der Ableitung für die Ordnung verandwortlich, der Faktor h sichert aber für h->0 die Konvergenz der QF gegen das Integral. Soweit ist es mir klar. ---------------------------------------------------------------------------------- Nun betrachten wir die Abschätzung (**) unter einem anderen Blickwinkel. Die Funktion f sei genügend oft stetig differenzierbar. Das Maximum hängt in meinen Augen nicht von h ab, also könnte man vereinfacht schreiben: Damit würde der Fehler in der Größenordnung liegen? (***) Solche Betrachtungen kann man auch noch für andere Formeln aufstellen. In den Büchern wird dann gesagt, man blicke auf (***), die Formel habe die Ordnung 2. Wie soll ich nun aber aus (***) folgern, dass Polynome vom Maximalgrad 1 exakt integriert werden ? Meiner Meinung nach gar nicht. Es werden nun weitere Formeln konstruiert, in denen auch mehrere Potenzen von h auftreten. Um aber doch dann ein Abschätzung der Form , wobei m der kleinste Koeffizient sei, muss man doch erstmal einschränken, dass h<1 gelten soll, oder? Denn nur so ist der Term mit der kleinsten Potenz von h ja der entscheidende. Vergleicht man nun 2 Formeln, so sollte diejenige mit dem größerem m wohl schneller zum Erfolg führen, also '"besser" sein. Gibt es bzgl. dieser O-Notation auch den Begriff Ordnung? Danke, tigerbine |
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26.09.2008, 11:41 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Die Trapezregel, das h und das O(h) Mein Eindruck ist, dass nur dann Verwirrung entsteht, wenn man 'Ordnung' für unterschiedliche Sachverhalte benutzt. Üblicherweise wird schon sorgfältig unterschieden zwischen dem 'Genauigkeitsgrad' einer Quadraturformel, der angibt, bis zu welchem Grad Polynome noch exakt integriert werden und dem 'Quadraturfehler', der die Abweichung der Formel vom exakten Integral angibt. Wenn man diese Informationen in der O-Notation zusammenfasst, bleibt üblicherweise dein c als Ableitung stehen, und dann kann man auch den Genauigkeitsgrad erkennen. Eine übliche Schreibweise ist z. B.: |
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26.09.2008, 12:02 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der "übliche" Weg Naja, die Autoren schreiben aber immer Ordnung. Am Anfang vom Kapitel eben mit der Definition "welche Polynome exakt integriert werden". Zum Beweis kann man imho ohne Probleme den Quadraturfehler (*), (**) heranziehen. Da dann eben der Ableitungsfaktor verschwindet. Dann untersucht man Formeln, gerne Newotn Cotes etc. und weitere Verfahren. Du erinnerst dich an an die Adaption. irgendwann kommt dann auch die Sprache auf Romberg, oder allgemeiner die Idee der Extrapolation. Hat man bis dato noch mühsam die Formeln konstruiert, fallen sie nun einfach vom Himmel. Die Autoren nehmen an, dass sich eine QF wie folgt schreiben lässt: Da finde ich schon die ... nicht sehr gelungen, ferner wird keine Aussage über h getroffen. Warum sollte also der entscheidende Term dieser Abschätzung sein. Es folgt ohne Begründung, dass diese Formel die Ordnung k1 habe. Warum? Dann konstruiert man eine neue Formel, das wie sei nun erst einmal egal, auf jedenfall gilt dann für diese: Diese sei nun besser, da sie die Ordnung k2 habe. Warum das denn? Nirgendwo wurde in dem Kapitel eine weitere Definition der Ordnung eingeführt. Aber wie soll ich denn aus der Schrittweite h ablesen, welche Polynome exakt integriert werden. Und integriert die zweite wirklich mehr Polynome "exakt". Ich würde eher vermuten, dass die neue Formel, bei gleicher Schrittweite h einen kleineren Fehler aufweist. Dabei setzte ich aber |h|<1 voraus. Daher "besser" ist, aber ich würde nicht den Begriff Ordnung wählen, zumindest nicht ohne neue Definition. "Fehlerordnung" oder so... Problem ist auch, zoomt man etwas heraus, landet man bei der Idee der Richardson Extrapolation. Die Romberg Integration ist nur eine Anwendung davon mit bestimmten Parametern. Eine Andere wäre die numerische Differentiation mittels h-Methode. Da fällt auch wieder der Begriff Ordnung. Na, da kann wohl wohl kaum die exakte Integration gemeint sein. |
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26.09.2008, 12:23 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Der "übliche" Weg Wenn Bücher den Begriff 'Ordnung' für alles Mögliche verwenden und auch nicht exakt definieren, dann sind das schlampige Bücher. |
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26.09.2008, 12:35 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Der "übliche" Weg Stimmt denn meine Vermutung mit diesen zwei Fällen, also das was unterschiedliches gemeint ist und wie ich es interpretiere? Sorry, ich bin nach all dem Lesen (inet, Skripte, Bücher) nun unsicher. |
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26.09.2008, 13:40 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Der "übliche" Weg So wie du das darstellst, hast du einige Werke studiert, die den Begriff 'Ordnung des Verfahrens' sowohl für den Genauigkeitsgrad der Formel als auch für den Quadraturfehler benutzen. Das ist natürlich misslich. In der Praxis spielt der Quadraturfehler meist die entscheidende Rolle, da man die Ableitung im Allgemeinen eh nicht kennt, und wenn doch, wird sie nicht ausgewertet. Die Aussage, der Quadraturfehler sei , hat auch für h > 1 Bedeutung. Bei gegebenem h kann man daraus natürlich nicht schließen, dass ein Verfahren mit höherem n den kleineren Quadraturfehler hat. Das kann man noch nicht mal bei h < 1. Interessieren tut auch meist etwas anderes. Wie ändert sich der maximale Fehler, wenn man h ändert. Wenn man h halbiert, viertelt sich der maximale Fehler bei einem Verfahren , bei einem Verfahren sechzehntelt er sich. Das gilt auch für h > 1. |
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26.09.2008, 13:44 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Der "übliche" Weg
Ok, das könnte dann der entscheidende Baustein für die Konstruktion der Formeln sein, ich werde dann im [WS] einen erläuternden Satz einschieben, der die "Ordnungen" auseinander hält. Danke dir. Ich versuche das am Nachmittag umzusetzten. |
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27.09.2008, 09:55 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Allgemein So, ich habe nun mal versucht, die zur Richardson gehörige Rekursionsformel bezüglich der Ordnung zu Erläutern. so ok?
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27.09.2008, 10:34 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Allgemein Sieht gut aus! |
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27.09.2008, 12:09 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Allgemein Danke dir, wiedermal |
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