Geometrische Verteilung und Erwartungswert

26.09.2008, 10:58

peter33

Geometrische Verteilung und Erwartungswert

Hallo, ich habe eine Frage zum Erwartungswert der geometrischen Verteilung.
Der Erwartungswert beträgt (p Eintrittswahrscheinlichkeit)
$\begin{eqnarray*} E(x)=\sum^{\infty}_{k=1}kp(1-p)^{1-k}=\ldots=\frac{1}{p} \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich den Erwartungswert für eine nach oben begrenzte geometrische Verteilung berechnen. Also ich habe ein Intervall [1,b] in dem ich eine geometrische Verteilung zulasse um ein Wert x aus [1,b] zu ziehen.

$\begin{eqnarray*} E(x)=\sum^{b}_{k=1}kp(1-p)^{1-k} \end{eqnarray*}$

Kann ich das so machen??

Wäre um Rat dankbar.

26.09.2008, 11:30

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RE: Geometrische Verteilung und Erwartungswert

Zitat:

Original von peter33
Der Erwartungswert beträgt (p Eintrittswahrscheinlichkeit)
$\begin{eqnarray*} E(x)=\sum^{\infty}_{k=1}kp(1-p)^{1-k}=\ldots=\frac{1}{p} \end{eqnarray*}$

Im Exponent muss $\begin{eqnarray*} k-1 \end{eqnarray*}$ stehen, nicht $\begin{eqnarray*} 1-k \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von peter33
Nun möchte ich den Erwartungswert für eine nach oben begrenzte geometrische Verteilung berechnen. Also ich habe ein Intervall [1,b] in dem ich eine geometrische Verteilung zulasse um ein Wert x aus [1,b] zu ziehen.

$\begin{eqnarray*} E(x)=\sum^{b}_{k=1}kp(1-p)^{1-k} \end{eqnarray*}$

Kann ich das so machen??

Nein, das geht so nicht. unglücklich

Was heißt denn bei dir "nach oben begrenzt" ? Im allgemeinen versteht man darunter, dass der gemäß geometrischer Verteilung ausgewüfelte Wert oben gekappt wird, also im Sinne

$\begin{eqnarray*} Y = \min(X,b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X\sim\operatorname{Geo}(p) \end{eqnarray*}$ .

Eine andere Möglichkeit ist, dass man solange Werte $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auswürfelt, bis man einen Wert <b hat. Beides ist denkbar, und führt auf unterschiedliche Verteilungen.

Dein Ansatz geht aber gar nicht, da du nur einen Teil der W-Masse 1 abdeckst, und den Rest (nämlich den der geometrischen Verteilung oberhalb b) schlicht unter den Tisch fallen lässt.

26.09.2008, 11:56

peter33

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Hallo Arthur,
danke für den Hinweis.
Also angenommen meine Eintrittswahrscheinlichkeit des Experiments liegt bei p. Das Eintreten des Ergebnisses X kann nach dem ersten, zweiten ...oder k-tem Versuch erfolgen.

$\begin{eqnarray*} P(X=k)=p(1-p)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Nun kann man das Experiment nur b mal durchführen. Entweder das Ergebniss X tritt bis dahin ein oder wenn man bei b ankommt, zählt es als "zwanghaft" in b eingetreten. Wie lautet der Erwartungswert? Könnt ich das Erxperiment unendlich oft durchführen, wäre der Erwartungswert = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ .

Also geh ich mal davon aus, dass deine erste Erklärung richtig ist. Ich suche einen Erwartungswert der Zufallsvariablen
$\begin{eqnarray*} Y=min(X,b) \end{eqnarray*}$ mit X geometrisch verteilt mit p.

Wie berechne ich das ?? Wäre um Tipps dankbar smile

26.09.2008, 12:55

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In dem Fall besitzt $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die Verteilung

$\begin{eqnarray*} P(Y=k) = \begin{cases} P(X=k) = p(1-p)^{k-1} & \;\mbox{für}\; 1\leq k\leq b-1\\[2ex] \sum\limits_{k=b}^{\infty} P(X=k) = (1-p)^{b-1} & \;\mbox{für}\; k=b\\[2ex] 0 & \;\mbox{für}\; k>b \end{cases} \end{eqnarray*}$

d.h., die gesamte Wkt-Masse $\begin{eqnarray*} X\geq b \end{eqnarray*}$ fällt auf den einen Wert $\begin{eqnarray*} Y=b \end{eqnarray*}$ . Mit dieser diskreten Verteilung von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ kannst du nun dein Zeug (Erwartungswert, etc.) ausrechnen.

26.09.2008, 16:37

peter33

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super ! Danke !!

jetzt kommen auch brauchbare Werte raus! Auf die Idee die W-Massen über der Grenze noch einzusammeln kam ich nicht. Das scheint die Berechnungen doch um einiges zu beeinflussen..

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