Unterschied zw. konvergenter Folge und Cauchy-Folge |
| 26.09.2008, 18:12 | blub85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Unterschied zw. konvergenter Folge und Cauchy-Folge Ich bin gerade in den letzten Zügen um mich auf mein Mathe-Vordiplom vorzubereiten und bin auf die im Thema genannte Frage gestoßen. Ich schildere Euch mal, welche Ansätze ich zu dieser Frage schon gesammelt habe: Soweit ich das beurteilen kann, liegt ein wesentlicher Unterschied in der Definition der beiden Dinge. In der Definition der Cauchy-Folge kommt der Grenzwert nicht vor, im Gegensatz zur Definition der Konvergenz... Ist das richtig?? Vgl dazu wikipedia "Cauchy-Folge": "Dies entspricht weitgehend der Definition für konvergente Folgen, jedoch kommt der Grenzwert selbst (also das a in der Definition der Konvergenz) hier nicht vor." Ein weiterer Gesichtspunkt ist das Verhätnis dieser beiden Aussagen zueinander. Da hab ich leider noch wenig Schimmer... Gilt etwa: Jede Cauchy-Folge ist eine konvergente Folge und umgekehrt?? Es wäre sehr nett, wenn ihr mir helfen könntet.. In nunmehr 4 tagen ist es soweit mit der Prüfung.. 
Danke! |
||||||
| 26.09.2008, 18:30 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Unterschied zw. konvergenter Folge und Cauchy-Folge Hallo,
Genau, bei der Definition der Cauchy-Folge wird nur gefordert, dass die Abstände zwischen den Folgegliedern in einem bestimmten Sinn unendlich klein werden. Bei der „üblichen“ Definition der Konvergenz hingegen fordert man, dass die Folgenglieder einer bestimmten Zahl unendlich nahe kommen -- eben dem Grenzwert.
Ja, zumindest in der Menge der reellen Zahlen! Und deswegen das „üblich“ oben: Man könnte Konvergenz auch einfach über die Eigenschaft von Cauchy-Folgen definieren. |
||||||
| 26.09.2008, 18:33 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In einem vollständigen Raum wie z.B. ist das richtig - so ist der vollständige Raum ja definiert. 
Im allgemeinen ist das aber nicht zutreffend, z.B. in nicht. Die Umkehrung gilt allerdings immer, das lässt sich sehr leicht beweisen. |
||||||
| 26.09.2008, 18:34 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier sollte vielleicht noch das Stichwort der Vollständigkeit eines Raumes genannt werden. Siehe am Besten den Artikel bei Wikipedia. Edit: bischen zu langsam. |
||||||
| 26.09.2008, 18:46 | blub85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
super!!! Vielen Dank für Eure Hilfe!! so kurz vor der Prüfung kann das goldwert sein! 
Ich hab das auch alles verstanden, nur eine kleine Frage bleibt mir -vorerst
- mal:Im wiki-Abschnitt zu den vollständigen Räumen findet man ein Beispiel: Eine Folge über rationalen Zahlen, die allerdins irrational konvergiert. Soweit alles in Ordnung. Aber wie kann man das formulieren, was die Formel in macht.. Divergiert die da etwa, bzw. ist der Grenzwert nicht definiert, oder wie kann man das sagen, bzw. verstehen?!
Danke für die Hilfe! 
|
||||||
| 26.09.2008, 20:04 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du meinst sicher die "Folge". Sie divergiert in dem metrischen Raum . |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|