Kombinatorik Tanzpartner

26.09.2008, 19:23

Dooki

Kombinatorik Tanzpartner

An einem Tanzwettbewerb nehmen genau 5 Paare teil. Die Paare werden durch Auslosung neu zusammengewürfelt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) alle 5 Paare wieder zusammengewürfelt werden
b) genau 1 Paar, genau 2 Paare, gneau 3 Paare, genau 4 Paare zusammengeführt werden.
c) kein Paar zusammengeführt wird.

zu a) ich hab die Paare aufgedröselt in A1, A2, B1, B2 usw.
dann hab ich zuerst 10 Möglichkeiten eine Person zuwählen und dann nur noch eine (weil ich hab ja schon die eine von dem Paar gewählt) dann 8 und 1 usw.
insgesamt sind es 10! Möglichkeiten
dann komm ich auf die Rechnung:

$\begin{eqnarray*} P(E)=\frac{10*1*8*1*6*1*4*1*2*1}{10!}=0,1058%= \frac{1}{945} \end{eqnarray*}$
jetz ist mir aufgefallen, dass ich mit Verwendung des Binomialkoeffizienten auch ans Ziel komme dann hab ich:
$\begin{eqnarray*} P(E)=\frac{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} ^{5}*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ^{5}*5!}{10!} = \frac{1}{945} \end{eqnarray*}$

zu b) kann ich das hier auch machen?
es geht doch garnicht, dass genau 4 Paare zusammenkommen, was ist denn dann mit dem anderen noch verbliebenen hier müsste die wahrscheinlichkeit 0% sein

zu c) das würde ich mit der gegenwahrscheinlichkeit rechnen also:
P(kein Paarzusammen)=1-P(genau1)-P(genau2)-P(genau3)-P(genau4)-P(genau5)

27.09.2008, 13:48

Zellerli

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a) Irgendwie komm ich mit deinem Modell nicht zurecht.
Wieso gibt es insgesamt $\begin{eqnarray*} 10! \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten? Das würde bedeuten, dass der Zuordner sich zuerst einen der zehn greifen kann. Nehmen wir Mann1 und dann noch einen der neun. Nehmen wir Mann3 (!). Bei aller Gleichberechtigung... In einem Tanzwettbewerb wird es immer eine Person geben die spezialisiert ist den "Mann" zu tanzen und eine, die "Frau" zu tanzen. Also ist die Auswahl in Wirklichkeit beschränkter als in deinem Modell.

Ich habe mir hier gedacht: Ein Brett mit fünf Kästchen, in die genau zwei Murmeln passen. Es gibt fünf Farben und für jede Farbe (fünf Paare) je zwei Murmeln verschiedener Größe (Mann und Frau).
Jetzt kann ich erstmal die großen Murmeln verteilen. Dann die kleinen. In ein Kästchen in dem schon eine große ist, darf keine weitere große. Analog mit den kleinen.

Mit dem Modell würde man auf das selbe Ergebnis kommen wie mit einer entsprechenden Korrektur deines Modells.

b) Du hast Recht. Wenn sich vier Paare richtig finden, muss das fünfte zwangläufig richtig sein. In den anderen Fällen musst du dir überlegen wie sich die verbliebenen vier, drei oder zwei Paare aufteilen können, sodass sie nicht "passen".

c) Gnau so kannst du vorgehen.

27.09.2008, 16:03

Dooki

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also dein modell klingt sehr logisch un ist auch richtig wies aussieht danke erst mal dafür
für die gesamtmöglichkeiten muss dann gelten: 5²*4²*3²*2²*1²=14400
fürs erste kästchen hab ich ja zuerst 5 große und 5 kleine murmeln zur auswahl fürs zweite kästchen 4 große und 4 kleine usw.
zu a) alle pärchen werden wieder zusammengeführt hätte ich dann doch
im ersten kästchen 5 große dazu passt aber nur 1 kleine murmel, im zweiten kästchen 4 große und dazu passt wieder nur eine kleine murmel usw.
dann erhalte ich doch:
$\begin{eqnarray*} P(E)=\frac{5*1*4*1*3*1*2*1*1*1}{5²*4²*3²*2²*1²} = \frac{5!}{14400}= \frac{1}{120} \end{eqnarray*}$
das sind aber nicht die 1/945, die ich vorher hatte
b) überleg ich noch

27.09.2008, 16:16

Dooki

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bei b) würde ich dann folgendermaßen vorgehen:
Wahrscheinlichkeit, dass ein Paar wieder zusammengeht:
für den ersten Mann gibts 5 Möglichkeiten dazu passt nur 1 Frau
für den zweiten Mann gibts 4 Möglichkeiten dazu passt nur 3 Frauen(alle nur nicht die eigene also 4-1=3)
für den dritten Mann gibts 3 Möglichkeiten dazu passt nur 2 Frauen
für den vierten Mann gibts 2 Möglichkeiten dazu passt nur 1 Frau
für den fünften Mann gibts 1 Möglichkeiten dazu passt nur 1 Frau (die übrige)
dann sind das 5*1*4*3*3*2*2*1*1*1=720 günstige Möglichkeiten
P(1 Pärchen) = 720/14400=0,05
bei den anderen verfahre ich genauso:
P(2 Pärchen) = 240/14400=1/60
P(3 Pärchen) = 720/14400=1/120
bei c) gegenwahrscheinlichkeit:
P(0 Pärchen) 1-0,05-1/60-1/120-1/120=11/12

ist das so richtig?

29.09.2008, 09:13

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Nein, alle Werte in b) und c) sind falsch. Siehe

Wahrscheinlichkeit

29.09.2008, 14:30

Dooki

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danke aber das hilft mir nicht viel weiter, da einige Latex Texte unlesbar sind und mit deiner formel zum schluss kann ich nichts anfangen
stimmen denn die gesamtmöglichkeiten: (5!)²=14400
Wie zähle ich denn die Möglichkeiten bei b)?

29.09.2008, 15:29

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Zitat:

Original von Dooki
stimmen denn die gesamtmöglichkeiten: (5!)²=14400

Kommt auf den Grundraum an. Nötig ist so ein großer Grundraum nicht, es reicht auch einer mit $\begin{eqnarray*} 5!=120 \end{eqnarray*}$ Elementarereignissen.

Zitat:

Original von Dooki
Wie zähle ich denn die Möglichkeiten bei b)?

Das steht im verlinkten Beitrag, der keine unleserlichen Formeln enthält (ich spreche nicht vom gesamten Thread): Die Zählung basiert auf der Siebformel - und du kannst dich drehen und wenden, und das ablehnen - es wird kaum billiger zu haben sein.

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