vollständige Induktion von Summengleichung

03.07.2006, 11:35

gazzle

vollständige Induktion von Summengleichung

Hallo,

komme mit folgender Aufgabe nicht recht weiter, habe hier nen Ansatz.
Kann jemand mal von euch weiterhelfen.

Aufgabe:
Beweisen, dass folgende Gleichung für alle natürlichen Zahlen n>0 gilt.
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~(-1)^i* \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang

Für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^1~(-1)^i* \begin{pmatrix}1 \\ i \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-1)^0* \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} (-1)^1* \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-1 = 0 \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung

Wenn gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~(-1)^i* \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann gilt auch $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n+1}~(-1)^i* \begin{pmatrix} n+1\\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Induktionsbeweis

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n+1}~(-1)^i* \begin{pmatrix} n+1\\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (\sum_{i=0}^n~(-1)^i* \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}) + (-1)^{n+1}*\begin{pmatrix} n+1 \\ n+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n+1}~(-1)^i* \begin{pmatrix} n+1\\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}(-1)^0 * \begin{pmatrix} n+1 \\ 0 \end{pmatrix} + (-1)^{1}*\begin{pmatrix} n+1 \\ 1 \end{pmatrix}...+ (-1)^n*\begin{pmatrix} n+1 \\ n \end{pmatrix}\end{pmatrix}+(-1)^{n+1}*\begin{pmatrix} n+1 \\ n+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig, und wie gehe ich nun weiter vor?

Danke schonmal für die Hilfe!

03.07.2006, 11:57

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Zitat:

Original von gazzle
Beweisen, dass folgende Gleichung für alle natürlichen Zahlen n>0 gilt.
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~(-1)^i* \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da hast du wohl was vergessen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~(-1)^i* \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Nun ja, der Beweis vollzieht den Beweis des binomischen Satzes

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \sum_{i=0}^n ~ {n\choose i} a^ib^{n-i} \end{eqnarray*}$

für den Speziallfall $\begin{eqnarray*} a=-1,b=1 \end{eqnarray*}$ nach.

03.07.2006, 14:47

gazzle

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So richtig will mir das nicht in den Kopf, wie gehe ich nun bei der Induktion vor?

03.07.2006, 14:49

Takeshi

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Wenn ihr die binomische Formel schon bewiesen habt, brauchst du keine Induktion. Du setzt, wie Arthur schon gesagt, hat, die Zahlen a=-1, b=1 ein, und voila!

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