Probleme bei Differentialgleichung

27.09.2008, 15:42

petiz

Probleme bei Differentialgleichung

Hallo Leute,

Ich bekomme folgende Dgl nicht gelöst:

$\begin{eqnarray*} y' + yx / (1+x^2) = x\sqrt{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Das was ich bis jetzt glaube hinbekommen zu haben, ist die homogene Lösung durch Trennung der Variablen, die bei mir

$\begin{eqnarray*} y =\frac{(1+x^2)*C}{\sqrt{e}} \end{eqnarray*}$

lautet.

... ob es stimmt, keine Ahnung.

Nun Variation der Konstanten und dann ableiten.. Dann komme Ich auf

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1+x^2}{\sqrt{e}}(2x*C(x)+C'(x)) \end{eqnarray*}$

.. aber wenns jetzt ans einsetzen von y und y' geht in die allgemeine DGL, dann wirds richtig abenteuerlich, ich bekomme einen Term der auf eine DIN-A4 Seite schräg nichtmehr draufpasst und weiß nichtmehr weiter.

Habe ich überhaupt richtig gerechnet?

Danke schonmal im Vorraus für eure Antworten

28.09.2008, 11:00

klarsoweit

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RE: Probleme bei Differentialgleichung

Zitat:

Original von petiz
Das was ich bis jetzt glaube hinbekommen zu haben, ist die homogene Lösung durch Trennung der Variablen, die bei mir

$\begin{eqnarray*} y =\frac{(1+x^2)*C}{\sqrt{e}} \end{eqnarray*}$

lautet.

... ob es stimmt, keine Ahnung.

Ob das stimmt, kannst du leicht durch Einsetzen deiner "Lösung" in die homogene DGL prüfen. Ich habe da jedenfalls was anderes raus.

28.09.2008, 12:18

petiz

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okay dann stellt sich mir doch direkt eine weitere Frage.

Ich habe $\begin{eqnarray*} x\sqrt{x+1} = 0 \end{eqnarray*}$ gesetzt (so wird die Gleichung doch homogen oder nicht?) und dann nach Trennung der Variablen integriert und Y auf eine Seite gebracht

28.09.2008, 12:30

klarsoweit

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Das ist prinzipiell richtig. Nur ist dein Ergebnis falsch. Und solange du nicht verrätst, was du im Detail rechnest, ist es schwierig, dir zu helfen.

28.09.2008, 13:43

petiz

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okay also:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} + yx / (1+x^2) = 0 \end{eqnarray*}$ | -(dy/dx)

$\begin{eqnarray*} yx / (1+x^2) = -\frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ | :y *dx

dann beide Seiten integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x}{1+x^2}~dx = -\int_{}^{}~\frac{1}{y}~dy \end{eqnarray*}$

heraus kommt:

$\begin{eqnarray*} ln(y) = -ln(1+x^2)+C \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} y = -(1+x^2)C \end{eqnarray*}$

hmm komisch.. wie bin ich nur vorher auf die Wurzel(e) gekommen? Ist das Ergebnis denn gleich mit dem was du herausbekommen hast?

28.09.2008, 13:47

derkoch

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Wo ist denn der Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
abgeblieben?

28.09.2008, 13:52

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Zitat:

Original von petiz
heraus kommt:

$\begin{eqnarray*} ln(y) = -ln(1+x^2)+C \end{eqnarray*}$

Bis hierhin stimmt's, aber danach stehst du mit den Logarithmenregeln auf Kriegsfuß. Und damit meine ich nicht das Umlabeln der Konstante, das allein wäre schon OK (bei Umbenennung)l - ich meine das von dir ignorierte negative Vorzeichen rechts.

EDIT: Ach ja, der Faktor 1/2 fehlt auch noch, richtig. Hammer

28.09.2008, 14:06

petiz

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ach natürlich.. jetzt weiß ich auch wieder wie ich auf das "durch wurzel e" komme.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{}^{}~\frac{2x}{1+x^2}~dx = - \int_{}^{}~\frac{1}{y} ~dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(y) = -\frac{1}{2} * ln(1+x^2) + C \end{eqnarray*}$

so.. nun kommt der wunde Punkt wo ich vermutlich Mist baue:

$\begin{eqnarray*} y = exp(- \frac{1}{2} * ln(1+x^2) + C) \end{eqnarray*}$

aaah... moment.. das (1+x^2) muss auch mit in den Nenner zum Wurzel(e).. dann würde ich sagen

$\begin{eqnarray*} y = \frac{C}{\sqrt{e}(1+x^2)} \end{eqnarray*}$

ist richtig

28.09.2008, 15:27

derkoch

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wo kommt denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{e} \end{eqnarray*}$ her? verwirrt

28.09.2008, 16:59

petiz

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von den -0,5 in der e-Funktion.. ich wüsste gerade echt nicht was daran falsch sein soll

28.09.2008, 20:12

klarsoweit

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Mit den Potenzregeln hast du es nicht so.
Es gilt nicht: $\begin{eqnarray*} e^{a \cdot b} = e^a \cdot e^b \end{eqnarray*}$

Allenfalls gilt: $\begin{eqnarray*} e^{a + b} = e^a \cdot e^b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{a \cdot b} = (e^b)^a \end{eqnarray*}$

29.09.2008, 08:28

petiz

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du hast recht..

$\begin{eqnarray*} y = \frac{C}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

jetzt aber traurig

29.09.2008, 08:56

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Wie heißt doch der Spruch: Was lange währt, wird gut. Freude

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