Summe Indexverschiebung

27.09.2008, 16:15

ekisch

Summe Indexverschiebung

hallo,

kann mir bitte jemand sagen, wie der Index der Summe hier verschoben ist

$\begin{eqnarray*} \sum^{k-1}_{i=0} \frac{1}{n-i} = \sum^n_{i=1} \frac{1}{i} - \sum^{n-k}_{i=1} \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$

Da n-i verschwindet, würde ich sagen, das ist nun unser i', was ebenfalls mit i bezeichnet wurde.

Aber so komme ich auf keinen grünen Zweig.

n-k+1 bis nach n muss gerade gleich k-1 sein.

dann ist i = n-k+1 und k-1 = n oder wie? Ich verstehs nicht...

Kann jemand die Magie dahinter erklären?

freundliche Grüße
ekisch

27.09.2008, 17:29

Huggy

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RE: Summe Indexverschiebung
Sei $\begin{eqnarray*} j=n-i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i=0 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} j=n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i=k-1 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} j=n-k+1 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=o}^{k-1}~\frac{1}{n-i} = \sum_{j=n-k+1}^n~ \frac{1}{j} \end{eqnarray*}$

Jetzt lässt man die Summe über j von 1 an laufen und zieht den Teil, den man hinzugefügt hat, wieder ab. Dann j wieder i nennen und das Ergebnis steht da.

27.09.2008, 17:39

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{k-1}~\frac{1}{n-i}=\sum_{i=n-k+1}^n~\frac{1}{i}=\left(\sum_{i=1}^{n-k}~\frac{1}{i}+\sum_{i=n-k+1}^n~\frac{1}{i}\right)-\sum_{i=1}^{n-k}~\frac{1}{i}=\sum_{i=1}^n~\frac{1}{i}-\sum_{i=1}^{n-k}~\frac{1}{i} \end{eqnarray*}$

08.10.2008, 01:48

unregistriert

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Das Problem ist ja eigentlich gelöst, aber ich hätte noch eine rein formale Frage zu der Umformung

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{k-1} \frac{1}{n-i} = \sum_{i=n-k+1}^n \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$

Mir ist schon klar, dass n-k+1 die untere Grenze ist und n die obere. Aber durch die Rechnung bekomm ich doch genau das Gegenteil raus. Ich seh einfach den nötigen Schritt nicht.
Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} j:=n-i \end{eqnarray*}$ bzw. dann $\begin{eqnarray*} i=n-j \end{eqnarray*}$ erhalte ich durch stures Rechnen doch

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{k-1} \frac{1}{n-i} = \sum_{n-j=0}^{n-j=k-1} \frac{1}{j} = \sum_{j=n}^{(j=)n-k+1}\frac{1}{j} \end{eqnarray*}$
und anschließend ersetzt man j wieder durch i.

Kann mir mal bitte jemand die richtige Vorgehensweise in voller Schönheit hinschreiben?

08.10.2008, 09:09

Huggy

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For eine Summe ist es egal, welche Grenze man unten und welche man oben hinschreibt. Die Summe bedeutet ja nur, dass man jeden ganzzahligen Wert im Bereich der beiden Grenzen für den Index einsetzen soll und dann alle Terme addieren.

Zur Verdeutlichung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^3~a_i =a_1+a_2+a_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=3}^1~a_i =a_3+a_2+a_1 \end{eqnarray*}$

Und das ist offensichtlich gleich.
Es ist eine reine Konvention, dass man meist die kleinere Grenze unten und die größere oben hinschreibt.

EDIT: Halt, ich muss mich korrigieren. Es gibt wohl auch die Konvention, dass die Summe 0 ist, wenn die obere Grenze kleiner als die untere ist. Dann musst du einfach zunächst die Grenzen umrechnen und danach die kleinere unten hinschreiben. Durch eine Änderung des Summationsindexes kann eine Summe auch in umgekehrter Reihenfolge durchlaufen werden.

Edit2: Siehe auch Arhur

08.10.2008, 09:33

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Zitat:

Original von Huggy
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=3}^1~a_i =a_3+a_2+a_1 \end{eqnarray*}$

Das widerspricht der gängigen Konvention dieser Schreibweise, dass nur "aufsteigende" Indizes in dieser Art und Weise gekennzeichnet werden. Diese Schreibweise bringt auch anderes durcheinander:

So ist es etwa üblich, unter $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a_i \end{eqnarray*}$ im Falle $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ die "leere" Summe zu verstehen, d.h.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^0 a_i = \sum_{i\in \emptyset} a_i = 0 \end{eqnarray*}$ .

Gemäß deiner Auffassung käme da aber

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^0 a_i \stackrel{?}{=} a_1+a_0 \end{eqnarray*}$

heraus, was dann für viele iterative Beschreibungen wie

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^{n-1} a_i ~ + ~ a_n \end{eqnarray*}$

aufwändige Sonderfallbeschreibungen für den Fall n=1 nötig macht...

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