harmonische Reihe divergent???

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27.05.2004, 18:58	TomBombadil	Auf diesen Beitrag antworten »
harmonische Reihe divergent??? Moin!!! Ich habe eine einfache Folge. an = 1/n für n $\begin{align} \in \calN \end{align}$ Meiner bescheiden Meinung nach sollte es sich hierbei um eine Nullfolge handeln. Die dazu gehörige Reihe sollte so aussehen: $\begin{align} \Bigsum_{k=1}^n~an \end{align}$ n = oo Warum sollte diese Reihe divergieren?? Wenn sie es nicht tut: Welchen Wert hat die Reihe und wie berechnen ich diesen?? Vielen Dank Thomas
27.05.2004, 19:03	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Reihe divergiert. Warum steht in jedem guten Mathebuch zur Analysis I.
27.05.2004, 19:13	TomBombadil	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wenn wir uns die Anschauung betrachten??? Sollte dann nicht bei einem Verschwinden Der Folgenglieder im Unendlichen ein Grenzwert vorhanden sein?
27.05.2004, 19:15	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein.
27.05.2004, 19:18	TomBombadil	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine freundliche Hilfsbereitschaft
27.05.2004, 19:19	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte. Schau in dein Mathebuch. Da wird das alles ausführlich erklärt.
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27.05.2004, 19:21	TomBombadil	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch auf die Gefahr hin, dass ich nerve, aber ich würde mich nicht an ein Forum wenden, wenn ich das nicht schon getan hätte..
27.05.2004, 19:22	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Welches Buch haste denn?
27.05.2004, 19:24	TomBombadil	Auf diesen Beitrag antworten »
Meyberg Vachenauer Höhere Mathe matik 1 (2. Auflage)
27.05.2004, 19:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte dir etwas ausführlicher antworten. Eine einfache Methode, die Divergenz der harmonischen Reihe nachzuweisen, ist die Aufteilung in Gruppen von Summen mit 1,2,4,8,16,... Summanden: 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ) + (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) + ... Die erste Klammer ist größer als 2·1/4 = 1/2 Die zweite Klammer ist größer als 4·1/8 = 1/2 Die dritte Klammer ist größer als 8·1/16 = 1/2 usw. Da die Summe 1+1/2+1/2+1/2+1/2+... aber divergiert, muß es auch die harmonische Reihe tun.
27.05.2004, 19:26	Deakandy	Auf diesen Beitrag antworten »
Unser Prof hat gesagt, wenn man vor 2000 Jahren die dicksten Rechner der Welt angeschaltet hätte um diese die harmonische reihe berechnen zu lassen, dann wären die jetzt so bei 45 Also divergiert ganz langsam Andy
27.05.2004, 19:32	TomBombadil	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem Rechner kommt doch meiner Anschauung ganz nahe. Vielen Dank
27.05.2004, 19:34	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, ich schreib mal aus meinem Mathebuch ab. Es sei $\begin{align} s_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{align}$ . Man nennt $\begin{align} (s_n) \end{align}$ auch die Folge der Partialsummen der Reihe. Ist nun $\begin{align} n \geq 2^i \end{align}$ mit $\begin{align} i\in\calN \end{align}$ , dann gilt: $\begin{align} s_n \end{align}$ $\begin{align} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} \end{align}$ $\begin{align} \geq 1 + \frac{1}{2} + $ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} $ + $ \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{8} $ + ... + $ \frac{1}{2^{i-1}+1} + ... + \frac{1}{2^i} $ \end{align}$ $\begin{align} \geq 1 + \frac{1}{2} + 2\cdot \frac{1}{4} + 4\cdot \frac{1}{8} + ... + 2^{i-1}\cdot \frac{1}{2^i} \end{align}$ $\begin{align} = 1 + \frac{i}{2} \end{align}$ .
28.05.2004, 13:19	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Langsamkeit zu verdeutlichen, hilft es auch vielleicht, wenn man sieht, dass die Reihe $\begin{align} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^a} \end{align}$ für alle a>1 konvergiert. Gruß vom Ben

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