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27.09.2008, 21:04

Rebecca

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Hallo miteinander!
Ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe:

" Es sind irgendwelche Mengen A, B, C, D gegeben, sowie Abbildungen a: A-->B, x-->a(x); b: A-->C, x-->b(x); c: B-->D, x-->c(x); d: C-->D, x-->d(x), die die Gleichung c°a=d°b (° = komponieren, verketten) erfüllen. Grafisch liesse sich das durch ein kommutatives Diagramm darstellen.

Zeigen Sie, dass folgendes gilt: sind b und c bijektiv, so ist a genau dann injektive, wenn es d ist. "

Was ich mir bereits überlegt habe ist, dass es eigentlich logisch ist..hehe
aber das zieht ja nicht..

des weiteren habe ich gedacht, dass wenn mann c mit a und d mit b komponiert, und b und c bijektiv sind, dass a und d dann die gleiche Eigenschaft haben müssten..

Hier ist aber meine Frage..wie kann ich das mathematisch wirklich beweisen und zeigen, dass dieser Sachverhalt stimmt?

Ich danke euch schon im Voraus vielvielmals!
Lieber Gruss, Rebecca...

27.09.2008, 21:27

system-agent

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Zunächst einmal musst du zwei Richtungen beweisen.
Du hast immer, dass $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ bijektiv sind. Nun einmal nimmst du an, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ injektiv ist und zeigst, dass es dann auch $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ist und beim zweiten Mal nimmst du an, dass $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ injektiv ist und zeigst dass es dann auch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist.

Zum Beweis: Injektiv zu sein bedeutet [am Beispiel von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ]:
$\begin{eqnarray*} a(x)=a(y)\Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$ d.h. wenn du zwei Bilder von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ betrachtest und feststellst, dass sie gleich sind, dann sind automatisch schon die Urbilder gleich gewesen.

Nimm also an, du hast $\begin{eqnarray*} d(x)=d(y) \end{eqnarray*}$ . Nun zeige, dass dann auch $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ sein muss. Du darfst für diese Richtung verwenden, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ injektiv ist.

27.09.2008, 22:05

Rebecca

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aber ist das wirklich ein Beweis dafür, dass man sagen kann:
" sind b und c bijektiv, so ist a genau dann injektiv, wenn d es ist " ?

..das wäre ja ein total simpler Beweis..da hätte ich viel zu weit gesucht.. :-)

28.09.2008, 10:52

system-agent

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Wie gesagt, wenn du beide Richtungen der Aussage " $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ injektiv" gezeigt hast, ist der Beweis ok.

Das was ich oben geschrieben habe ist die Richtung " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ".

28.09.2008, 16:08

Rebecca

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wenn ich also folgendes schreibe, ist der Beweis ok? :

d(x) = d(y) --> x = y.

Ist nun d injektiv, dann ist es auch a:

a(x) = a(y) --> x = y
d(x) = d(y) --> x = y

--> a(x) = d(x) und a(y) = d(y)
und
a(x) = d(y) und a(y) = d(x)

?

28.09.2008, 20:45

system-agent

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Zitat:

Original von Rebecca
wenn ich also folgendes schreibe, ist der Beweis ok? :

d(x) = d(y) --> x = y.

Ist nun d injektiv, dann ist es auch a:

Das macht doch keinen Sinn. Du sollst gerade zeigen dass dann $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ injektiv ist wenn es $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist.

28.09.2008, 23:00

Rebecca

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also einfach eine falsche Aussage?

ist das besser:
wenn a injektiv ist, so ist es auch d. ?

..stimmt der Rest dann nicht? :-S
für mich wäre es nun logisch gewesen, dass a(x) <=> d(x)

28.09.2008, 23:51

Rebecca

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aber das hier ist doch richtig, sprich der Beweis für a injektiv <--> d injektiv

nicht?

29.09.2008, 06:35

Jacques

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Hallo,

Sorry, aber irgendwie kommt mir das sehr chaotisch vor @ Rebecca unglücklich

Der Fehler bei Deinem obigen Beweis war ja, wie system-agent schon geschrieben hat, dass Du die Aussage voraussetzt, die Du gerade beweisen möchtest. Dabei kann kein Beweis herauskommen. Du müsstest also nochmal von vorne anfangen.

Das „a(x) <=> d(x)“ ist übrigens kein sinnvoller Ausdruck, denn a(x) und d(x) sind ja Zahlen o. ä., und die können kaum logisch äquivalent sein!

Zum zweiten: Du machst bei Deinem Beweis einen prinzipiellen Fehler, der m. E. damit zusammenhängt, dass Du nicht sehr sorgfältig mit den Bezeichnungen umgehst:

Zitat:

Original von Rebecca

a(x) = a(y) --> x = y
d(x) = d(y) --> x = y

Überlege mal, wofür x und y überhaupt stehen. Dann siehst Du, dass Du eine „Doppelbelegung“ gemacht hast: x bezeichnet gleichzeitig ein beliebiges Element von A und ein beliebiges Element von C. Bei y genauso. Diese Objekte sind aber natürlich nicht immer identisch!

Du hast also unterschiedliche Objekte mit derselben Variablen bezeichnet. Im nächsten Schritt machst Du dann auch tatsächlich den Fehler, beides als dasselbe anzusehen:

Zitat:

Original von Rebecca

--> a(x) = d(x) und a(y) = d(y)
und
a(x) = d(y) und a(y) = d(x)

Davon abgesehen: Wie kommst Du auf diese Schlüsse?

Allgemein: Ich würde versuchen, alles etwas geordneter aufzuschreiben. Was genau ist zu beweisen? Was kann man voraussetzen? Und Variablen sollte man immer erklären, dann passieren einem diese Doppelbelegungen nicht.

Ich kenne von der Schule her das Schema ‚Voraussetzungen--Behauptung--Beweis’. Vielleicht kann man das hier gut anwenden:

Voraussetzungen

<schon in Deiner Aufgabenstellung beschrieben>

Behauptung

a ist genau dann injektiv, wenn d injektiv ist.

Beweis

Der Beweis ist abgeschlossen, wenn man gezeigt hat, dass aus der Injektivität von a die Injektivität von d folgt und umgekehrt.

Teil (1): Wenn a injektiv ist, dann ist d injektiv.

Sei a injektiv, d. h. gelte für zwei beliebige Elemente x und y aus A: a(x) = a(y) => x = y.

...
Und jetzt Dein Beweis. Du kannst alle in der Voraussetzung gegebenen Eigenschaften benutzen und zusätzlich die Injektivität von a. Nochmal zur Erinnerung: Du musst zeigen, dass für zwei beliebige Elemente alpha und beta aus C gilt:

$\begin{eqnarray*} d(\alpha) = d(\beta) \ \Rightarrow\ \alpha = \beta \end{eqnarray*}$

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