Induktionen

27.09.2008, 22:34

Rebecca

Induktionen

Hallo miteinander!

Ich habe Mühe mit den folgenden zwei Aufgaben:

" Beweise die Behauptungen durch vollständige Induktion:

a) $\begin{eqnarray*} (1-(1/2^2))*(1-(1/3^2))*(1-(1/4^2))***(1-(1/n^2))=((n+1)/2n) \end{eqnarray*}$

n grösser gleich 2

b) n* "wurzel von" n > n + "wurzel von" n

n grösser gleich 3

---

Was ich selbst herausgefunden habe:
a)P(n) = $\begin{eqnarray*} (1-(1/2^2))*(1-(1/3^2))*(1-(1/4^2))***(1-(1/n^2))=((n+1)/2n) \end{eqnarray*}$
P(2) = ... (einfach für "n" 2 eingesetzt)
P(n) --> P(n+1): $\begin{eqnarray*} (1-(1/2^2))*(1-(1/3^2))*(1-(1/4^2))***(1-(1/n^2))*((1-(1/(n+1)^2))=((n+1)+1/(2(n+1)) \end{eqnarray*}$
nach all dem Umformen stimmts bei mir nicht mehr, leider..kann mir da jemand helfen?

b) P(n) --> P(n+1): (n+1) * "wurzel von" (n+1) > (n+1) + "wurzel von" (n+1)
(n+1) kann man kürzen und da n>2 ist, muss (n+1) * x > (n+1) + x

27.09.2008, 22:54

Jacques

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Hallo,

Zu a):

Ich würde Dir raten, das Produktzeichen zu benutzen, dann kannst Du die Umformungen sehr viel kompakter aufschreiben.

Und eine etwas übersichtlichere Darstellung wäre auch nicht schlecht. Augenzwinkern

Zu beweisen ist

$\begin{eqnarray*} \prod_{i = 2}^n \left(1 - \frac{1}{i^2} \right) = \frac{n + 1}{2n} \end{eqnarray*}$

Den Induktionsanfang hast Du bewiesen. Dann fehlt noch der Induktionsschritt, wobei Du die Induktionsvoraussetzung schon
formuliert hast: Für eine beliebige feste natürliche Zahl k mit $\begin{eqnarray*} k \geq 2 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \prod_{i = 2}^k \left(1 - \frac{1}{i^2} \right) = \frac{k + 1}{2k} \end{eqnarray*}$

Daraus soll folgen:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i = 2}^{k+1} \left(1 - \frac{1}{i^2} \right) = \frac{k + 2}{2(k+1)} \end{eqnarray*}$

Nachweis:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i = 2}^{k+1} \left(1 - \frac{1}{i^2} \right) = \left(\prod_{i = 2}^{k} \left(1 - \frac{1}{i^2} \right)\right) \cdot \left( 1- \frac{1}{(k+1)^2} \right) = \underbrace{\frac{k + 1}{2k}}_{\textrm{Ind.-Vor.}} \cdot \left( 1- \frac{1}{(k+1)^2} \right) \end{eqnarray*}$

Löse die Klammer auf, bringe den linken Bruch durch Multiplikation mit (k+1)² auf den gleichen Nenner wie den rechten.
Dann kannst Du die Brüche subtrahieren, einen Term ausklammern und kürzen. Anschließend wendest Du die dritte
binomische Formel an.

28.09.2008, 00:06

Rebecca

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Induktionen
Vielen Dank, ich kann alles sehr gut nachvollziehen!
Nur: von welchen Brüchen sprichst du am Schluss - also welche Brüche sollte ich noch gleichnamig machen - ist es so nicht bereits bewiesen?

dann knoble ich immer noch bei der Aufgabe b).. :-(

P(n) --> P(n+1): (n+1) * "wurzel von" (n+1) > (n+1) + "wurzel von" (n+1)

stimmt mein Anstaz, den ich beschrieben habe mit kürzen - also ist es so wirklich schon bewiesen?

Vielen Dank nochmals!

28.09.2008, 00:25

Jacques

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RE: Induktionen

Zitat:

Original von Rebecca

Vielen Dank, ich kann alles sehr gut nachvollziehen!
Nur: von welchen Brüchen sprichst du am Schluss - also welche Brüche sollte ich noch gleichnamig machen - ist es so nicht bereits bewiesen?

Wenn Du bei meinem letzten Schritt die Klammer auflöst, dann erhältst Du

$\begin{eqnarray*} \frac{k + 1}{2k} - \frac{k + 1}{2k(k + 1)} \end{eqnarray*}$

Diese Brüche musst Du natürlich gleichnamig machen, um die Differenz bilden zu können. Bewiesen ist da noch nichts! Du bist ja gerade dabei, aus der Induktonsvoraussetzung den Induktionsschluss zu folgern.

Zu der zweiten Aufgabe: Das Problem bei Deinem Ansatz ist, dass Du mit dem Induktionsschluss beginnst und nicht mit der Induktionsvoraussetzung. Das ist prinzipiell in Ordnung, aber jede Deiner Umformungen muss dann eine Äquivalenzumformung sein, damit auch der eigentlich geforderte umgekehrte Schluss funktioniert.

Gelten wirklich immer beide Richtungen? (ich kenne mich damit nicht so aus)

[unsinnige Idee rauseditiert]

28.09.2008, 14:21

Rebecca

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RE: Induktionen
vielen Dank, das habe ich nun gemacht.
Der rechte Term gibt bei mir dann aber ausgerechnet folgendes: (1/(2(n+1))) + 0.5

Ist das nicht schon der Beweis, da die Ind. Voraussetzung im Term enthalten ist? [ ((k+1)/2k) ]

Vielen Dank im Voraus!

28.09.2008, 17:21

Jacques

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RE: Induktionen

Zitat:

Original von Rebecca

vielen Dank, das habe ich nun gemacht.
Der rechte Term gibt bei mir dann aber ausgerechnet folgendes: (1/(2(n+1))) + 0.5

Hm, das ist evtl. richtig, aber in dieser Form kann man mit dem Term nicht gut weiterrechnen.

Meine Vorgehensweise war so:

Auflösen der Klammern ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{2k} - \frac{k+1}{2k(k+1)^2} \end{eqnarray*}$

Erweitern des linken Bruchs mit (k+1)² und subtrahieren der Brüche:

$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)^3- (k+1)}{2k(k+1)^2} \end{eqnarray*}$

Ausklammern von k+1 und Kürzen des Bruchs:

$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)^2 - 1}{2k(k+1)} \end{eqnarray*}$

Anwenden der dritten binomischen Formel im Zähler:

$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1+1)(k+1-1)}{2k(k+1)} \end{eqnarray*}$

Vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(k+2)k}{2k(k+1)} \end{eqnarray*}$

Und zuletzt kürzt man k raus:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\frac{k+2}{2(k+1)}}_{\textrm{Induktionsfolgerung!}} \end{eqnarray*}$

Damit ist der Beweis geführt!

Zitat:

Original von Rebecca

Ist das nicht schon der Beweis, da die Ind. Voraussetzung im Term enthalten ist? [ ((k+1)/2k) ]

Nein, der Beweis ist geführt, wenn man $\begin{eqnarray*} A(k) \ \rightarrow\ A(k+1) \end{eqnarray*}$ gezeigt hat. (siehe Dir das Prinzip der vollständigen Induktion nochmal an)

Man benutzt die Induktionsvoraussetzung und formt dann so lange um, bis man bei der Induktionsfolgerung A(k+1) angelangt ist.

28.09.2008, 18:22

Rebecca

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RE: Induktionen
Super, vielen Dank!
Ich hätte sie eben mit dem Bruch, den ich geschriben habe, abgeschlossen, aber so ist der Beweis viel offensichtlicher und besser :-)
Vielen Dank!

Zur anderen Aufgabe: kann ich die nun doch so machen, wie ich sie beschrieben habe, mit kürzen etc. ? (weil ein Teil rauseditiert wurde..)

28.09.2008, 19:18

Jacques

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RE: Induktionen

Zitat:

Original von Rebecca

Ich hätte sie eben mit dem Bruch, den ich geschriben habe, abgeschlossen

Sorry, Dein Bruch ist perfekt, Du musst ja nur noch die beiden Brüche addieren, dann hast Du genau die Induktionsfolgerung. Das habe ich vorher irgendwie nicht gesehen. unglücklich

Zitat:

Original von Rebecca

Zur anderen Aufgabe: kann ich die nun doch so machen, wie ich sie beschrieben habe, mit kürzen etc. ? (weil ein Teil rauseditiert wurde..)

Bei dieser Aufgabe kann ich Dir leider nicht weiterhelfen.

Aber mein Hinweis stimmte schon: Du darfst nicht ohne Weiteres mit der Induktionsfolgerung statt der Induktionsvoraussetzung beginnen.

Also sofern Du diese Umkehrung der Reihenfolge nicht ganz bewusst und unter Berücksichtigung aller Probleme machst, ist der Ansatz wohl nicht so gut.

Beginne dann lieber „klassisch“ mit der Induktionsvoraussetzung.

28.09.2008, 20:43

Rebecca

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RE: Induktionen
oke, vielen Dank!
ja, aber deine Lösung zur ersten ist ja eigentlich diesselbe, ich habe sie nur nicht so ausführlich aufgeschrieben wie du. Um zu beweisen sind aber deine Schritte besser, da man am Schluss die Induktionsfolgerung besser sieht und gerade ablesen kann.

zur anderen Aufgabe:
oke, trotzdem vielen Dank!
ich probiers nochmal "klassisch", obwohl ich es so schon probiert habe und auf keinen grünen Zweig gekommen bin, deshalb habe ich auch etwas anders begonnen...naja, i'll try it :-)
dankeschöön!

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