monoton -> integrierbar

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Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »
monoton -> integrierbar
hi...

wir haben in der Vorlesung folgendes Integrierbarkeitskriterium formuliert:

ist integrierbar genau dann, wenn f beschränkt ist und zu beliebigen existiert eine Zerlegung des Intervalls [a,b] , so dass die Summe derjenigen Teilintervalllängen bei denen die Schwankung von f ist, kleiner als epsilon ist.

dabei ist die Schwankung von f in einem Intervall definiert als der Abstand des minimums und des maximums von f in diesem Intervall.

jetzt soll ich mit hilfe dieses Integrierbarkeitskriteriums zeigen, dass jede monotone Funktion integrierbar ist.

erstes Problem: es ist doch nicht jede monotone Funktion auf einem Intervall beschränkt, oder? - deswegen wäre doch der erste Punkt schon gar nicht erfüllt...
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Warum nicht? Eine Menge S ist beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. Jedes endliche Intervall hat genau diese Eigenschaft.



Gruß, mercany
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

es geht ja nicht um die Menge, sondern um die Funktion
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: monoton -> integrierbar
Zitat:
Original von Sunwater
erstes Problem: es ist doch nicht jede monotone Funktion auf einem Intervall beschränkt, oder? - deswegen wäre doch der erste Punkt schon gar nicht erfüllt...


Meinst Du soetwas?



(also ein endliches Intervall, auf dem die Funktion nicht beschränkt ist?)

Aber das fällt ja schon wegen der Voraussetzungen weg... Augenzwinkern
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »
RE: monoton -> integrierbar
Wenn das Intervall abgeschlossen ist, dann muss die Funktion auch auf den Rändern definiert sein. Insofern bleibt das schon beschränkt.
Was heißt für die integrierbar? Wenn es um eine Stammfunktion geht, sehe ich ein Problem: .
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Funktion ist ja nicht monoton...

EDIT: @papahuhn: Das Problem, das Du ansprichst, kann man mit «Distributionen» lösen. Schau mal da
 
 
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Warum nicht?

Edit @Frooke: Ich denke, Distributionen sind hier nicht gefragt...
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, es ist f(x>b)=1 und f(b)=0 und f(x<b)=1...

Oder meinst Du eine Funktion, die b als Intervallrand hat (beim Def.bereich)?

EDIT: Wege der Distributionen: Ich weiss, aber ich wollte das nur als Hinweis angeben.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine natürlich das b vom Definitionsbereich.

Die Aussage müsste man etwas umformulieren: Sei monoton. Dann ist auf integrierbar.
Eine Ableitung auf dem Rand würde ja eh keinen Sinn machen.
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

papahuhn:
Ich habe dir doch neulich schon gesagt, dass Integrierbarkeit und die Existenz von Stammfunktionen absolut nichts miteinander zu tun haben.
Es ergibt also überhaupt keinen Sinn, über Stammfunktionen zu sprechen, wenn von Integrierbarkeit die Rede ist.

Sunwater: (Schöner Avatar, hängt bei mir als Poster im Zimmer. smile )
Die Aufgabe ist eigentlich nicht schwer (natürlich ist eine monotone Funktion auf einem kompakten Intervall beschränkt, die Werte in den Randpunkten sind doch Schranken). Nimm einfach mal an, dass f monoton wachsend ist und sei so ein Paar gegeben.
Wie viele Teilintervalle kann es dann bei einer beliebigen Zerlegung höchstens geben, auf denen die Schwankung größer als delta ist; findest du nicht ganz leicht eine obere Schranke für delta*Anzahl der Teilintervalle, auf denen die Schwankung größer als delta ist (hier kommt die Monotonie ins Spiel)?
Jetzt musst du nur noch eine geeignete äquidistante Zerlegung wählen und bist nach eurem Kriterium fertig.
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

ja an genau sowas wie bei frooke hätte ich gedacht.

eine Funktion kann doch auf einem Intervall monoton sein, ohne dass sie überall definiert sein muss, oder?

also am Beispiel:

f(x) = 1/x ist doch auf dem Intervall [0,1] monoton fallend, aber doch nicht beschränkt?!

wenn das mit dem beschränkt geklärt ist, krieg ich den Rest schon hin...
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man eine monotone Funktion betrachtet, ist sie natürlich in jedem Punkt von [a,b] definiert und dann trivialerweise durch die Funktionswerte in a und b beschränkt.
1/x auf (0,1] zu betrachten hat deshalb mit der Situation hier nichts zu tun (und es auf [0,1] zu betrachten ergibt überhaupt keinen Sinn).
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast1
papahuhn:
Ich habe dir doch neulich schon gesagt, dass Integrierbarkeit und die Existenz von Stammfunktionen absolut nichts miteinander zu tun haben.
Es ergibt also überhaupt keinen Sinn, über Stammfunktionen zu sprechen, wenn von Integrierbarkeit die Rede ist.


So ganz bin ich davon ja nicht überzeugt. Wie lautet denn das Adjektiv für Funktionen zu denen es eine Stammfunktion gibt? "aufleitbar" wird doch von jedem verteufelt, statt dessen soll man eine Form von "integrieren" benutzen. Doch das wird nun von dir kritisiert. Für ein festes Intervall kann ich ja dein Verständnis von Integration nachvollziehen, aber wenn eine Funktion integrierbar sein soll, dann setze ich das automatisch mit der Existenz einer Stammfunktion gleich.
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

@ papahuhn:

da muss ich dir leider auch wiedersprechen...

wir haben ein Übungsbeispiel, wo es um die Funktion:

geht.

Den Flächeninhalt in einem bestimmten Intervall kann man nur in Form einer unendlichen Reihe angeben... - insbesondere gibt es keine Stammfunktion...

aber integrierbar ist die Funktion!
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

@gast1 : ich hab nochmal drüber nachgedacht...

es wäre doch viel zu einfach, wenn die monotone Funktion wirklich an jedem Punkt des Intervalls definiert sein müsste - dann könnte ich einfach sagen die monotone Funktion ist stetig und für stetige Funktionen haben wir bewiesen, dass sie integrierbar sind...

bist du dir wirklich sicher, dass das so gelten muss?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du darauf, dass eine auf einem Intervall monotone Funktion stetig sein muss? Im Gegenteil, du kannst da sogar eine monotone Funktion angeben, die auf einer abzählbaren, in dicht liegenden Menge unstetig ist - Stichwort: Umkehrung der Cantorfunktion.
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast1
Wenn man eine monotone Funktion betrachtet, ist sie natürlich in jedem Punkt von [a,b] definiert


ich komme da nicht drauf, doch gast1 hat so argumentiert... - ich bin ja auch der ansicht, dass das nicht gelten muss
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Definiert ist doch nicht dasselbe wie stetig!!!
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

ja da hab ich nicht wirklich drüber nachgedacht, ich dachte das stetigkeit dann automatisch folgt, aber stimmt ja nicht...

aber muss eine monotone Funktion überall definiert sein?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat nicht mal was mit Monotonie zu tun: Wenn man von einer Funktion spricht, dann ist sie für jedes definiert, sonst ist es keine Funktion - so einfach ist das.
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

das ist alles was ich wissen wollte - danke
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sunwater
@ papahuhn:

da muss ich dir leider auch wiedersprechen...

wir haben ein Übungsbeispiel, wo es um die Funktion:

geht.

Den Flächeninhalt in einem bestimmten Intervall kann man nur in Form einer unendlichen Reihe angeben... - insbesondere gibt es keine Stammfunktion...

aber integrierbar ist die Funktion!


Ok, dann habt ihr anscheinend das gleiche Verständnis von "integrierbar" wie gast1. Ich werde mir angewöhnen eine Funktion "aufleitbar" zu nennen, wenn eine Stammfunktion existiert.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von papahuhn
Ich werde mir angewöhnen eine Funktion "aufleitbar" zu nennen, wenn eine Stammfunktion existiert.

Das lässt du mal hübsch bleiben! Forum Kloppe
Solchen Verbrechen leistet man nicht auch noch Vorschub.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss leider was Off-topicges sagen.
Ich habe die Vermutung das Aufleiten das gleiche ist wie Ableiten, oder zumindest die gleiche Tätigkeit beschreibt.

Ein Vergleich dazu ist offentsichtlich, liegt sozusagen auf der Strasse, oder noch genauer: auf der Schiene!

In einem Zugwaggon gibt es mehrere Abteile. Diese entstehen dadurch, dass man immer mehrere Sitze in einem Waggon voneinander abteilt. Wenn man aber nun die Plätze dieses Waggons aufteilt auf mehrere Aufteile, dann erhält man verwunderlicherweise das selbe Ergebniss.

Und aus der Tatsache, dass mit Zwei identischen Ausgangsmengen die Gleiche Zielmenge erzeugt wurde lässt sich beweisen dass die Abbildungsvorschrift gleich ist.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

lol
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Das gehört wohl eher in den Diskussions-Thread zum Wort "Aufleiten". Augenzwinkern
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wär's mit ableiden?

Manchmal macht man ja schön was mit bei langen Rechnungen Augenzwinkern ...
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sunwater
@ papahuhn:

da muss ich dir leider auch wiedersprechen...

wir haben ein Übungsbeispiel, wo es um die Funktion:

geht.

Den Flächeninhalt in einem bestimmten Intervall kann man nur in Form einer unendlichen Reihe angeben... - insbesondere gibt es keine Stammfunktion...

aber integrierbar ist die Funktion!

Natürlich gibt es eine Stammfunktion zu , die Funktion ist doch sogar stetig.
Die Frage, ob man diese Stammfunktion auch mit Schulfunktionen aufschreiben kann, hat damit nichts zu tun. Aber das ist eine Diskussion, die ich schon fast unendlich oft geführt habe und auf die ich jetzt keine Lust habe (insbesondere nach dem Spiel gestern).
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast1
Natürlich gibt es eine Stammfunktion zu , die Funktion ist doch sogar stetig.

Zumindest dann, wenn die hebbare Unstetigkeit bei x=0 auch tatsächlich behoben wird, d.h., wenn man eigentlich



betrachtet. Sollte zumindest einmal hier im Thread erwähnt werden. Augenzwinkern
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