Definitionsmenge von der dritten Wurzel von x

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squall Auf diesen Beitrag antworten »
Definitionsmenge von der dritten Wurzel von x
Hallo,

nachdem mein Leistungskurslehrer daran gescheitert war, zu beweisen, warum genannte Definitionsmenge ausschließlich umfasst,
wende ich mich nun an euch.

Sein Ansatz war der, die dritte Wurzel von -1 mit x gleichzusetzen,
die dritte Potenz zu nehmen
und mit der Gleichung x hoch 3 minus x weiterzurechnen
x hat er ausgeklammert

Folglich ist er auf die drei Lösungen x= 0/1/-1 gekommen
Seiner Meinung nach würde dieser Widerspruch den Beweis liefern

Nach meinem Einwand, dass man mit dieser Vorgehensweise bei der zweiten Wurzel von x ebenfalls auf diesen Widerspruch kommen würde, wusste er nichts anzufangen.


P.S.: Bitte entschuldigt die komplizierte Schreibweise. Ich bin durch Zufall auf dieses Board gestoßen und werde mich aus Zeitgründen erst später mit den Hilfsmitteln vertraut machen

€dit by Steve: Mimetex hinzugefügt smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, bin auch Lehrer. Ich verstehe aber den ganzen Rechenweg nicht. Wie kann man vom Ansatz (dritte Wurzel von -1) = x auf die Lösungen 0,1,-1 kommen????????????????
 
 
squall Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, mein Lehrer ging von der Gleichung "dritte Wurzel von -1 = -1"
aus.
-1 hat er durch x ersetzt: "dritte Wurzel von x = x"
Anschließend hat er die beide Seiten hoch 3 genommen und x subtrahiert: (x hoch 3) - x = 0,
x ausgeklammert
und die lösungen x=0, 1, -1 herausbekommen

Ich denke mal, dass er an diesem Bsp. uns zeigen wollte, dass -1 einen Sonderfall darstellt.
Doch hat er nicht beachtet, zu bedenken, dass die dritte Wurzel von
-8 = -2 ist (-->anderer Ansatz), also sein Ansatz nicht allgemein gültig ist.

Meine Frage ist nun, warum trotz dieser scheinbaren "Ausnahmefälle" als Definitionsbereich R+0 angegeben wird.
Es gibt doch so viele negative Zahlen (z.B. -1, -8, -27) von denen man die dritte Wurzel nehmen kann?!
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Einen Grund dritte Wurzeln nur für nichtnegative Zahlen zu definieren, gebe ich am Ende meines Beitrages.

Wenn dein Lehrer tatsächlich die dritte Wurzel von -1 hätte ausrechnen wollen, dann hätte er die Gleichung

lösen müssen. Indem man die hoch 3 nimmt erhält man
0 = x^3 + 1
Diese Gleichung hat einmal die Nullstelle -1. Klammert man den Linearfaktor (x-1) aus, bleibt
0 = x^2+x+1
übrig, was keine reellen Lösungen mehr hat. Die einzige reelle Zahl, die als dritte Wurzel von -1 in Frage kommt, ist also -1.

Die Gleichung liefert einem alle reellen Zahlen, die mit ihrer dritten Wurzel übereinstimmen. Das sind tatsächlich die drei Zahlen -1, 0, +1. Ich sehe aber nicht, was das mit der dritten Wurzel einer negativen reellen Zahl zu tun haben.

Wurzelfunktionen sind als Umkehrfunktionen definiert. Die dritte Wurzel ist die Umkehrfunktion der Funktion f(x) = x^3. Diese ist auf ganz R umkehrbar eindeutig (bijektiv). Sie kann also auf ganz R umgekehrt werden. Der Graph der sich ergebenden Funktion sieht so aus:



Die Formel in der rechten oberen Ecke ist etwas komplizierter, weil ich nicht weiss, ob dieses Programm eine Funktion füer die dritte Wurzel hat, und der Ausdruck x^(1/3) nur für positive x definiert ist. Das hat aber einen anderen Grund, der nicht direkt etwas mit der Wurzelfunktion zu tun hat, sondern mit den Potenzgesetzen.

Diese Potenzgesetze sind auch der Hauptgrund, warum Wurzeln negativer Zahlen in der Schule nicht zugelassen werden. Ein Potenzgesetz sagt nämlich:

Diese Gleichungen gelten aber nur für nichtnegative x.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal sind die Gleichungen



schlichtweg nicht äquivalent. So ist die zweite Gleichung eine Folgerung der ersten, aber nicht die erste eine Folgerung der zweiten. Was damit also bewiesen werden soll, weiß ich nicht. Da könnte man ja genauso die beiden folgenden Gleichungen betrachten:



und sagen, daß das erste nicht sein kann, weil's beim zweiten außer der Lösung x=1 auch noch die Lösung x=-2 gibt.

Und zur Definitionsmenge der dritten Wurzel habe ich Folgendes anzumerken:

Da gibt es zwei unterschiedliche Sichtweisen:

1. Sichtweise (dieser schließe ich mich an)
Die dritte Wurzel ist für jede reelle Zahl eindeutig erklärt. Die dritte Wurzel von x ist nämlich die eindeutig bestimmte reelle Zahl y mit y³=x.

2. Sichtweise (in vielen Schulbüchern)
Die dritte Wurzel wird nur für nichtnegative reelle Zahlen x definiert. Für solche x geht die Definition ansonsten wie bei 1.

Da ich mich der ersten Sichtweise anschließe, fällt es mir schwer, für die zweite Sichtweise Argumente zu finden. Das Problem ist nämlich nicht die dritte Wurzel an sich, sondern die Potenzschreibweise für Wurzeln.

Wenn man definiert

,

könnte jemand auf den folgenden Gedanken kommen: 0,5 = 2/4 ; also gilt für a=-9:

,

während ein anderer sagt: 0,5 = 1/2 ; also gilt für a=-9:



Das zeigt, daß das keine sinnvolle Definition ist, da die Berechenbarkeit nicht vom Wert der Zahl abhängt, sondern von der Art ihrer Darstellung. Man kann sich überlegen, daß so etwas nicht passieren kann, wenn man nur nichtnegative Basen a betrachtet. Und deshalb legt man allgemein bei Brüchen im Exponenten fest: Die Basis darf nicht negativ sein! Also auch beim Bruch 1/3. Und das ist durchaus sinnvoll.
Aber wie gesagt: Das ist ein Bruchexponent-Potenz-Problem, kein Problem der dritten Wurzel an sich.

Edit: Dieses Mal war Irrlicht schneller.
squall Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen, vielen Dank Irrlicht und Leopold.
Werde mir eure beiden Antworten ausdrucken und durchgehen.
Vielleicht kann ich meinen Lehrer morgen damit überraschen smile .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe einmal davon aus, daß das stimmt, was du uns über deinen Lehrer berichtet hast. Da mache ich mir dann so meine Gedanken ...
Aber mehr will ich nicht sagen! (Kollegensolidarität!)
squall Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe Augenzwinkern .
Nein, ich mag meinen Mathelehrer.
Er wirkt nur manchmal etwas zerstreut..
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Na die Fixpunkte der dritten Wurzel hat er ja richtig bestimmt (auch wenn es nicht unbedingt das war, was er wollte Augenzwinkern ).
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