Offene Kugel

03.07.2006, 19:53

daN-R-G

Offene Kugel

Hallo Ihr da draussen! Ich durchforste gerade meinen Forster :P

Und nun stehe ich bei einem Beispiel auf dem Schlauch. Ich schreib es mal eben auf:

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein beliebiger metrischer Raum, $\begin{eqnarray*} a \in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r > 0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} B_r(a) \end{eqnarray*}$ offen im Sinn der obrigen Dimension. Denn sei $\begin{eqnarray*} x \in B_r(a) \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} \epsilon := r-||x,a|| > 0 \end{eqnarray*}$
und aus der Dreiecksungleichung folgt $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon}(x)\subset B_r(a) \end{eqnarray*}$

Und hier vestehe ich nicht genau, wieso dies aus der Dreiecksungleichung folgt, bzw wie ich die hier überhaupt ins Spiel bringen kann. Kann mir das evtl einer erklären? Dass $\begin{eqnarray*} B_r(a) \end{eqnarray*}$ offen ist, wenn es ein $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon}(x) \subset U \end{eqnarray*}$ , ist mir klar.
Nur wie genau folgt dies in diesem Beispiel aus der Dreiecksungleichung?

mfg
daN-R-G

03.07.2006, 20:10

Dual Space

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Zitat:

Original von daN-R-G
$\begin{eqnarray*} \epsilon := r-||x,a|| > 0 \end{eqnarray*}$

Was ist denn hier $\begin{eqnarray*} \|x,a\| \end{eqnarray*}$ ? Oder anders gefragt: Wie ist das Komma zu interpretieren und wie ist $\begin{eqnarray*} \|\cdot,\cdot\| \end{eqnarray*}$ erklärt?
Ich gebe dabei zu bedenken, dass ein "beliebiger metrischer Raum" nicht normiert sein muss!

03.07.2006, 20:15

daN-R-G

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Also weiter vorher im Buch wurde geschrieben, dass wenn nichts weiter gesagt wurde, mit $\begin{eqnarray*} || \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} || \end{eqnarray*}$ die euklidische Norm gemeint ist. Also $\begin{eqnarray*} ||x,a|| \end{eqnarray*}$ soll dann denke ich der Abstand bzgl. der euklidischen Norm sein.

03.07.2006, 20:19

Dual Space

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Zitat:

Original von Dual Space
Ich gebe dabei zu bedenken, dass ein "beliebiger metrischer Raum" nicht normiert sein muss!

03.07.2006, 20:28

daN-R-G

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hm.. irgendwie stehe ich mal wieder aufm schlauch? Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} ||x,a|| \end{eqnarray*}$ ist doch der abstand zwischen a (dem Mittelpunkt von $\begin{eqnarray*} B_r(a) \end{eqnarray*}$ ) und x ein beliebiger Punkt in dieser Kugel.

und das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist dann der "radius" der Kugel von x.

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