Diagonalisierbare Matrizen |
| 03.07.2006, 21:15 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Diagonalisierbare Matrizen Gegeben ist Gefragt ist nun, ob A reell oder komplex diagonalisierbar ist. Als charakteristisches Polynom habe ich (t^2+1)(-1-t) raus. Dieses zerfällt dann doch im Reellen nicht in Linearfaktoren, was doch gegen die reelle Diagonalisierbarkeit von A spricht, richtig? Im Komplexen zerfällt das charakteristisches Polynom dann in Linearfaktoren, nämlich (t-i)(t+i)(-1-t) Jetzt muss ich dann doch noch zeigen, dass für alle komplexen Eigenwerte t die algebraische Vielfachheit AV der geometrischen Vielfachheit GV entspricht, oder? Bei der Berechnung des Eigenraums zum Eigenwert t=-1 erhalte ich aber den Nullvektor, welcher ja dann kein Eigenvektor sein kann. Gilt dann trotzdem, dass die GV=1 ist ? Gruß Björn |
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| 03.07.2006, 21:18 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast dich dann verrechnet. Ein EW wird ja erst dadurch zum EW, dass sein ER mindestens eindimensional ist. Daraus folgt für jeden EW ist die geom. Vielfachheit >=1. In dem Fall, dass das char. Pol. vom Grad n n verschiedene NST hat, bist du also sofort fertig, denn dann MUSS die Matrix diag. sein. |
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| 03.07.2006, 21:41 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh ja, hab da die dritte Kompente bei der Eigenraumbestimmung einfach ignoriert 
Erhalte dann als möglichen Eigenvektor (0/0/1) Mit der Dimension passt das ja dann auch alles. Danke dir 
Desweiteren soll ich noch eine orthogonale Matrix T finden, so dass T^tAT in Normalform ist. Bin mir auch nicht sicher was hier mit Normalform gemeint ist...etwa Jordan Normalform? Hast du da vielleicht noch einen Hinweis für mich? Gruß Björn |
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| 03.07.2006, 21:48 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmmm, joa, ich nehme an, hier ist mit "Normalform" die Diagonalgestalt gemeint [die entspricht hier natürlich der Jordannormalform] Als Basisvektoren der neuen Basis brauchst du dann die Eigenvektoren, gegebenenfalls musst du die noch normieren, um die Basiswechselmatrix orthogonal zu machen. Kenne mich damit aber nicht mehr so gut aus [long time ago....]. |
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| 03.07.2006, 21:56 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also es gilt: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal, wenn dein char. Polynom also wie hier in Linearfaktoren zerfällt, dann ist deine Eigenbasis automatisch auch eine Orthogonalbasis |
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| 03.07.2006, 21:58 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
richtig, aber die Spalten einer Orthogonogalmatrix stehen sogar "orthonormal zueinander" (es muss ja das Standard-SKP mit sich selbst je 1 sein). Deswegen habe ich die Normierung vorgeschlagen. oder habe ich deinen Einwand missgedeutet? |
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| 03.07.2006, 22:30 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein - ich wusste nicht, dass die Spalten einer Orthogonalmatrix auch orthonormal aufeinander stehen... - heißt das jede Orthogonalmatrix ist automatisch orthonormal? - hast du dazu ne Begründung auf welchem Satz das beruht? |
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| 03.07.2006, 22:34 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
A Orthogonalmatrix heißt doch, dass ist (oder habe ich hier was mit den Definitionen überspitztz verwechselt?) Das gibt in der Komponente i,j gerade das Std-SKP der i-te Zeile mit der j-te Spalte. Das passt für alle Nichtdiagonaleinträge, da hier 0 rauskommt. Die Diagonaleinträge sind aber nur dann 1, wie bei E, wenn die Vektoren normiert sind.
PS: Es ist für eine Matrix A mit orthogonalen Einträgen: , D diagonal, mit , wobei a_i die i-te Zeile ist (edit: und * natürlich das StandarDskalarprodukt). |
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| 03.07.2006, 23:43 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, ich denke damit komm ich soweit klar. |
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