Simultane Kongruenzen

28.09.2008, 12:14	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
Simultane Kongruenzen Hallo, ich habe folgendes Kongruenzensystem (System simultaner Kongruenzen), dass zu lösen ist: $\begin{eqnarray} x \equiv 2 (mod 3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \equiv 1 (mod 5) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \equiv 5 (mod 12) \end{eqnarray}$ Ich komme mit Kongruenzen nicht klar! Ich habe eine Lösung gesehen, bei der nun erst einmal die letzte Kongruenz umgeformt wird, um den Chinesischen Restsatz (CRT) anwenden zu dürfen. $\begin{eqnarray} x \equiv 5 (mod 12) \Leftrightarrow x \equiv 1 (mod 4) \wedge x \equiv 2 (mod 3) \end{eqnarray}$ Ich würde gerne wissen, wie ich systematisch solche Umformungen zu machen habe. Ich kenne nicht die Gesetzmäßigkeiten für Kongruenzen. Gruß babelon
28.09.2008, 12:18	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist, dass deine Moduli nicht teilerfremd sind - ggT(3,12)=3 - sodass der chinesische Restsatz nicht anwendbar ist. Um das Problem zu beheben zerlegt man 12=3*4.
28.09.2008, 12:57	42	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es existiert aber eine super 'Formel' um auch nicht teilerfremde Kongruenzen direkt zu lösen, sofern überhaupt eine Lösung existiert. Siehe dazu: Direktes Lösen von simultanen Kongruenzen ganzer Zahlen Dieses zuerst auf deine ersten beiden Kongruenzen anwenden und dann das gleiche Verfahren mit der neu entstandenden Kongruenz und der letzten Kongruenz (x=5 mod 12) anwenden. Schon hast du das Ergebnis.
28.09.2008, 13:11	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo therisen, vielen Dank für deine Antwort Tut mir Leid, ich habe folgendes nicht erwähnt: 1. Mir ist klar, dass der Chinesische Restsatz nicht greift, wenn die einzelnen Ideale nicht teilerfremd sind. 2. Mir war auch klar, dass man dort 12=34 gesehen hat, und damit dann neue Kongruenzen baut. Mir ist nicht klar, wie ich diese bei beliebigen Kongruenzen finde (nach welchen Gesetzmäßigkeiten bestimme ich die beiden neuen Kongruenzen?). Moment! Ich glaube, gerade etwas zu verstehen Wenn ich das System $\begin{eqnarray} x\equiv 2(mod 3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\equiv 1(mod 4) \end{eqnarray}$ hätte, wären alle Lösungen $\begin{eqnarray} x\equiv 5(mod 12) \end{eqnarray}$ . Ich habe also nur die Umkehrung gemacht. Denn $\begin{eqnarray} 5\equiv 2 (mod 3) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 5\equiv 1(mod 4) \end{eqnarray*}$ . Ist das so einfach? Oder mache ich mir das nur so einfach, weil es gerade hinkommt?
28.09.2008, 13:16	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo 42, deine Antwort finde ich klasse, auch an dich vielen Dank, da mir nicht klar war, dass es auch ein Lösungsweg gibt, bei dem die Moduli nicht teilerfremd zu sein haben. Meine Schwierigkeit lag allerdings nur bei der Äquivalenzumformung in erster Linie. Ich hoffe, dass sich diese mit meinem letzten Eintrag nun erledigt hat Gruß babelon
28.09.2008, 18:48	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe mir noch einmal darüber Gedanken gemacht, ob ich es nun verstanden habe. UND NEIN! Ich habe die ganz oben von mir genannte Äquivalenz-Umformung nicht verstanden!!! Kann mir jemand erklären, wie man in Kongruenzen rechnen darf ODER einen Link schicken bitte. Ich kann die Umformung NACHVOLLZIEHEN; aber weiß nicht, wie ich im Allgemeinen darauf selber komme. Im Voraus herzlichen Dank babelon
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29.09.2008, 10:59	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ich glaube, dass ich gestern abend ein wenig zu frustriert war, dass es nicht schnell genug in meinem Kopf klick gemacht hat. Hab mir das einige Male durch den Kopf gehen lassen und hab es kapiert DANKE für eure Hilfe Gruß babelon

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