Ungleichung auflösen |
| 28.09.2008, 16:50 | raemic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ungleichung auflösen könnt ihr mir sagen wie das beste vorgehen ist um diese ungleichung zu lösen: 2^n >= 5n^2-3n-30 also ich soweit ich weiss kann ich sie so umschreiben: n*ln(2) = ln(5n^2-3n-30) dann n = ln(5n^2-3n-30)/ln(2) aber dan hab ich ja immer noch nicht alle n auf der selben seit bzw. noch nicht aufgelöst, ich weiss hier leider nicht mehr weiter, wäre super wenn mir jemand einen tipp geben könnte. liebe grüsse |
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| 28.09.2008, 17:43 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, Hast Du die Ungleichung so bekommen? Oder hast Du sie als Zwischenergebnis selbst erarbeitet? Denn mit dem Auflösen dürfte es schwierig werden. 
Das Logarithmieren der Gleichung solltest Du übrigens nicht so „sorglos“ machen: Logarithmen sind nur für positive Argumente definiert (ln(-1) etwa existiert nicht). Du müsstest also zuerst eine Fallunterscheidung machen, bevor Du den Logarithmus der rechten Seite bildest. Wobei das m. E. auch wirklich nicht weiterbringt. |
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| 28.09.2008, 20:39 | raemic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also eigentlich war die aufgabe diese, dass ich durch vollständig induktion zeigen sollte bzw. beweisen sollte ab welchem n, die linke seit grösser/gleich der rechten seite der gleichung ist. nun habe ich das n durch einfaches ausprobieren erhalten, ist in diesem fall ja 9, ich wollte aber nun die gleichung auflösen um das zu überprüfen und da gings dann nicht mehr vorwärts, deshalb die frage. zudem habe ich mir gedacht, dass mir das ev. etwas für die induktion bringt, denn wen ich sie einfach so mache dann klappt das irgendwie auch nicht. also wenn mir jemand einen tipp hat für die induktion oder auch noch für das weitere vorgehen beim auflösen der gleichung wäre ich sehr dankbar. liebe grüsse |
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| 29.09.2008, 19:16 | raemic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ungleichung auflösen gut einmal anders gefragt, kann mir jemand helfen die gleichung mit der vollständigen induktion zu beweisen? da komm ich nämlich auch auf keinen grünen zweig, mein ansatz ist der: 2^n >= 5n^2-3n-30 | n=9 (IA) 2^9 >= 5*9^2 - 3 * 9 - 30 >>>> 512 >= 405 - 27 - 30 >>>> 512 >= 348 (OK) dann (IV) es gelte 2^n >= 5n^2-3n-30 n > (n+1) (IS) 2^1 * 2^n >= 5(n+1)^2 - 3(n+1) - 30 dann für 2^n = 5n^2 - 3n - 30 einsetzen 2 * 5n^2 - 3n - 30 >= 5(n+1)^2 - 3(n+1) - 30 und jetzt ist bei mir fertig, wie geht es nun von hier aus weiter? |
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| 29.09.2008, 19:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ungleichung auflösen Abgesehen von einem Klammerfehler mußt du eben zeigen, daß die Ungleichung gilt. Da würde ich mal so umsortieren, daß rechts eine Null steht. |
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| 29.09.2008, 19:42 | raemic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für die rasche Antwort Ich verstehe jetzt aber nicht ganz wieso ich das umsortieren muss, bzw. Null setzen? Ich muss doch zeigen das beide Seiten gleich sind oder nicht? |
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| 29.09.2008, 19:48 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, völlig falsch, es geht hier überhaupt nicht um Gleichheit. Und von "müssen" beim Beweis der von klarsoweit angegeben Ungleichung kann auch keine Rede sein. Es ist nur so: Wenn du diese Ungleichung beweisen kannst, zumindest für (mit irgendeinem passend gewählten Anfangsindex ), dann klappt auch der Induktionsschritt für ebendiese , in Form einer Ungleichungskette. Das ist also ein hinreichendes Argument, und somit kein "muss". |
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| 29.09.2008, 20:04 | raemic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK das hast du natürlich recht, ich hab ja eigentlich selber geschrieben "Ungleichung" darum muss es ja nicht gleich sein, sorry hab nix gedacht bei dieser Aussage. Aber jetzt, da ich durch simples ausprobieren darauf gekommen bin das die Grundgleichung 2^n >= 5n^2-3n-30 für n=1,2,3, dann aber erst ab 9,10, usw. stimmt muss ich jetzt diese n in der, nach 0 umgestellter Gleichung überprüfen, damit der Beweis erbracht ist wenn die Aufgabe lautet "Für genau welche n Element der natürlichen Zahlen ist 2^n >= 5n^2-3n-30" stimmt das so oder ist das jetzt komplett falsch? ich hab jetzt komplett den Durchblick verloren. |
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| 29.09.2008, 20:14 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie du richtig erkannt hast, funktioniert die vollständige Induktion hier erst für . Also ist der Induktionsanfang , und der Induktionsschritt muss auch nur für klappen. Das erleichtert die Sache, denn der Nachweis von nur für ist nach der von klarsoweit empfohlenen Termvereinfachung mit einer großzügigen Abschätzung möglich. |
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| 29.09.2008, 20:24 | raemic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK, also wäre es ab n >= 9 bewiesen. Bzw. die Fällen n=1,2,3,4 wo die Induktion nicht geht und die Fälle n=5,6,7,8,9 usw. wo es klappt ergeben das es "insgesamt" erst ab n=9 immer stimmt da ja zuvor in der Grundgleichung n=1,2,3 gingen aber n=4,5,6,7,8 nicht. Hab ich das richtig verstanden? Besten Dank und liebe Grüsse |
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| 30.09.2008, 10:35 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im Prinzip ja, wobei du den Induktionsschritt bislang noch nicht vollständig durchgeführt hast. |
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| 01.10.2008, 17:48 | raemic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK, ja stimmt ich müsste die Gleichung noch nach x Auflösen. Aber besten Dank für die Hilfe, hat schon ein paar Unklarheiten aus dem Weg geräumt. liebe Grüsse |
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| 01.10.2008, 19:06 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es handelt sich um eine Ungleichung mit Variable n. |
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| 01.10.2008, 19:26 | raemic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja aber ich kann, wenn ich die ungleichung nach 0 umgestellt habe, die x werte doch errechnen |
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| 01.10.2008, 20:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ähh?? Welche x-Werte? |
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| 04.10.2008, 14:46 | raemic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn ich dich ungleichung nach 0 umgestellt habe, so habe ich auf der einen seite eine quadratische gleichung bei welcher ich die x-werte ausrechnen kann. oder siehst du das nicht so? |
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