diophantische Gleichungen

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Knurg Auf diesen Beitrag antworten »
diophantische Gleichungen
Hallo!

Ich hab folgende Aufgabenstellung:

Bestimme alle so dass die Kongruenzgleichung
n mod 27
keine Loesung besitzt.

Ich hab bisher nur ausprobieren koennen - hat jemand eine Idee, was das System dahinter ist? Das mod nach vorne zu ziehen scheint ja keine Loesung zu sein.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte , also und , dann reicht wegen sowie analoges für die Betrachtung der möglichen Werte von für die alle Kombinationen mit . Und die Kongruenzklassen, die da NICHT als Werte vorkommen, sind die, die du suchst.
Knurg Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Arthur, vielen Dank fuer deine Antwort.

Wie kommt man denn auf den Ansatz? Wieso mod 9?

Und wieso hilft mir das etwas? So richtig verstehe ich es nicht, kannst du vielleicht ein paar Erklaerungen und Zwischenschritte einfuegen?

Danke

Knurg
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du alle möglichen Paare ganzer Zahlen einsetzt, kriegst du auch alle möglichen Werte raus. So, nun sollst du das ganze aber modulo 27 betrachten, demnach genügen auch alle möglichen Paare modulo 27. Das sind aber immer noch eine ganze Menge, nämlich 27²=729 Paare. Glücklicherweise genügt aber modulo 9 statt modulo 27 wegen der hübschen Dreien in der binomischen Entwicklung , die Details dazu stehen in meinem letzten Beitrag.

Also bleiben nur noch 9²=81 Kombinationen zu untersuchen, wobei man das durch weitere Kniffe wie noch effizient reduzieren kann.
Knurg Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Ich verstehs immernochnicht - Ich fass mal zusammen wie weit ich mitkomme:

- Mir ist klar, ich bekomme alle möglichen Werte n raus, wenn ich etwas für (x,y) einsetze.
- Mir ist klar ich soll das mod 27 betrachten.
- Ja, das ist ne ganze Menge
- so... du zerlegst also x in (9a+u) - dein ist mod 27 dann wieder weil alle faktoren kongruent 0 sind - ist klar.

aber wieso kann ich deswegen mod 9 betrachten - und wieso hilft mir das überhaupt?

Danke

Knurg
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, nochmal:

Wenn ich alle möglichen Werte erhalten will, muss ich mit normalerweise alle Restklassen modulo 27 durchgehen. Was ich aber oben gezeigt habe ist, dass bereits aus für die dritten Potenzen folgt, und man erspart sich somit eine Menge Arbeit: Es reicht also die Untersuchung von (oder auch ) statt .

Aber wenn du das nicht einsiehst, kannst du natürlich auch alle 27 Restklassen, und damit für die Paare alle 27²=729 Varianten untersuchen, ist halt nur mehr Arbeit. Augenzwinkern
 
 
Knurg Auf diesen Beitrag antworten »

Einsehen tu ich das schon wirklich gerne - immerhin erspart es mir sehr viel arbeit - nur verstanden hab ich diesen Beweis noch nicht ganz!

Aber dann muss ich das wohl so hinnehmen und einfach bearbeiten... vielleicht entdeck ich den Zusammenhang noch!

Dank dir!

Knurg
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