Differentialgleichung zum Luftaustausch |
| 04.07.2006, 13:50 | Pepe-VR6 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Differentialgleichung zum Luftaustausch Ich habe einen Raum von der Größe 80m³. In dem Raum befindet sich Luft (21% O2 und 79% N2). Nun strömt in den Raum reiner Stickstoff ein. Dieser vermischt sich natürlich mit der Luft. Die Einströmgeschwindigkeit beträgt 3,16m³/min. Gleichzeitig verliert der Raum aber auch durch Leckagen 1,4m³/min (Leider vom neu entstandenen Gemisch, nicht nur Luft). Die Frage lautet: Wie müsste die Formel aussehen um zu berechnen nach welcher Zeit die Sauerstoffkonzentration von 21% auf 12% runter ist? Vielleicht hat ja jemand etwas Zeit sich damit zu befassen, wäre super 
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| 04.07.2006, 13:59 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Irgendwas passt da nicht zusammen: In einen Raum konstanter Größe strömt genausoviel Volumen hinein wie hinaus. Es sei denn, du betrachtest die Angaben 3,16m³/min und 1,4m³/min bei verschiedenen Drücken. |
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| 04.07.2006, 14:08 | Pepe-VR6 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, gut dass stimmt. Damit der Druck im Raum gleich bleibt, sind Druckausgleichsventile installiert. Also das was rein geht geht auch raus. Mein Fehler, sorry. Also zählen die 3,16m³min. Was ich vergessen habe zu erwähnen: Der hineindströmende Stickstoff N2 kann unter umständen auch bis 9% O2 enthalten. Das müsste auch berücksichtigt werden. |
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| 04.07.2006, 15:03 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie immer hilft ein sauberer Ansatz: t sei die Zeit in Minuten x sei die Sauerstoffkonzentration in % in dem Raum zum Zeitpunkt t Wieviel Sauerstoff fließt im Zeitintervall delta_t aus dem Raum ab bzw. wieder hinein? Stelle daraus eine Formel für die Sauerstoffkonzentration zum Zeitpunkt t + delta_t auf. |
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| 05.07.2006, 14:01 | Pepe-VR6 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn das so einfach wäre. Es gibt eine Firma (Air Liquide) die mit einer solchen Formel simuliert, dies aber unter Verschluss hält und nicht an Dritte weitergibt. Daher sind wir hier am rätseln wie man das Problem angehen und lösen könnte. |
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| 05.07.2006, 14:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also so ein Geheimnis ist das nicht. Und wenn du mal meine Fragen beantworten würdest, dann kommen wir auch dahinter. Frage 1: Wenn 3,16m³ Gas pro Minute in den Raum reinströmt, wieviel m³ strömt im Zeitintervall delta_t rein? Frage 2: Wenn in dieser Menge Gas 9% Sauerstoff drin ist, wieviel m³ Sauerstoff strömt dann im Zeitintervall delta_t rein? Frage 3: Wenn x die Sauerstoffkonzentration in dem Raum in % ist und 3,16m³ Gas pro Minute aus dem Raum abfließt, wieviel m³ Sauerstoff strömt dann im Zeitintervall delta_t raus? |
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| 05.07.2006, 14:15 | Pepe-VR6 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Axo, sorry 
zu1: Also wir wissen, dass es in 27min bei einer Raumgröße von 57m³ zu einem Volumen von 6,91m³ kommt die die Luft einnimmt, also 12 Vol.% zu2: siehe oben (die Zeit ist mit den 9% O2) zu3: Das ist ein Mischungsverhältnis zwischen der Luft, die sich mit dem NEA (Nitrogen enriched Air) vermischt. Es wird alsomit steigender Zeit immer weniger werden. Anfangs sind es noch 21%, nach 27min sind es dann nur noch 12% die ausströmen. |
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| 05.07.2006, 14:19 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Für die Experten (Differentialgleichung ?!?) Das ist zwar schön. Aber das sind doch die Parameter:
Und jetzt bitte mal meine Fragen beantworten. Das kann jeder Schüler aus der 7. Klasse. EDIT: deine Antworten passen total nicht zu den Fragen. Frage 4: Wenn pro Minute in den Raum 3,16 m³ reinströmt, wieviel m³ strömt in 5 Minuten rein? |
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| 05.07.2006, 14:25 | Pepe-VR6 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mmh, kann sein dass ich da jetzt voll auf dem Schlauch stehe. Ist auch warm und fast Feierabend. Die Parameter sind ja: 27min um von 21% O2 auf 12% O2 runterzukommen, dabei beachten, dass die im Raum befindliche Luft sich mit der Zeit immer mehr mit der NEA(91% N2, 9% O2) vermischt. Das ganze in einem 27m³ Raum. Die 27min sind Testergebnisse aus Versuchen. Wir wissen, dass die Firma Air Liquide nahezu identische Ergebnisse aus analytischen Methoden hatte. Mehr Parameter haben wir auch nicht. EDIT: In 5min strömen 10.39 m³ rein (Versuchsreihe) |
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| 05.07.2006, 14:28 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist ja gut. Jetzt lös dich mal von dieser tappischen Firma und beantworte meine Fragen so, wie ich sie gestellt habe. Am besten mit Frage 4 anfangen, dann die Fragen 1 - 3.
Irgendwas stimmt da nicht. Wenn pro Minute 3,16 m³ reinströmen, dann können das nicht 10,39 m³ in 5 Minuten sein.
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| 05.07.2006, 14:48 | Pepe-VR6 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tja, was soll ich sagen? Das ist so, wirklich: Mal eben zum Verständnis: Delta_t ist doch meine vorgegebene Zeit, oder nicht? Also sind es doch die 27min. Ach, verdammt. Nu is klar 
Die Werte die ich genannt habe, nach 5 und nach 27 min sind das Volumen an O2 nach den besagten Zeiten im Raum. Dann wären das ja 0,281 m³/min an O2 die pro Minute einströmen (also 9% von 3,12m³, oder nicht?). Was ausströmt kann ich so nicht sagen, da mir die Formel fehlt, die die Mischung des einströmenden O2 und des O2 aus der Luft berechnet. Was ich noch hätte wäre eine Berechnung aus einem Versuch: Wobei Q der Volumenstrom 3,12m³/min ist. In der e-Funktion steht der ganze Klammerausdruck im Exponenten. |
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| 05.07.2006, 15:00 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also langsam gebe auf. Nach jeder Frage konfrontierst du mich mit neuen Werten. Also nochmal von vorn: Wir haben einen Raum von der Größe 80m³. Stimmt? In dem Raum befindet sich Luft (21% O2 und 79% N2). Stimmt? Nun strömt in den Raum (angeblich reiner) Stickstoff ein. Dieser vermischt sich natürlich mit der Luft. Die Einströmgeschwindigkeit beträgt 3,16m³/min. Stimmt? Oder sind es vielleicht 3,12m³/min ? Die Einströmgeschwindigkeit ist über den Zeitablauf konstant. Stimmt? Der angeblich reine Stickstoff enthält 9% Sauerstoff. Stimmt? Nochmal zur Zeit. Der Versuch beginnt zum Zeitpunkt t=0. Dabei wird t in Minuten gemessen. delta_t ist ein kleiner Zeitabschnitt, also delta_t = t_a - t_b wobei t_a und t_b irgendwelche Zeitpunkte sind mit t_a > t_b. |
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| 05.07.2006, 15:17 | Pepe-VR6 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, sorry... Aber wir drehen uns hier im Kreis und kommen damit einfach nicht voran. Also: Raumgröße ist 75m³ Die Versuche wurden mit reinem Stickstoff gemacht. Da dieser aber nicht realistisch ist für unsere Zwecke wurde mit NEA gerechnet. also mit Stickstoff der einen gewissen Porzentsatz Sauerstoff enthält (in diesem Fall 9%). Die vorgegebene konstante Einströmgeschwindigkeit beträgt 3,16m³/min. Die 3,12m³/min sind aus den Versuchsreihen. Daher kommen auch die Werte. Der Versuch beginnt zur Zeit t=0, richtig. Aus den Versuchsreihen wurde zu jeder Minute das Sauerstoffvolumen im Raum gemessen und mit den Werten der analytischen Berechnung verglichen. Daher ist delta_t wohl 1 Minute. Ergebnis soll sein, mit Eingabe von vorgegebenen Werten zu sagen wann der Raum nur noch 12Vol % O2 enthält. Ich kann ja mal aus der Versuchsreihe ein paar Zahlen präsentieren:  http://www.pepe-vr6.de/NEA.bmpDeutlich zu erkennen ist, dass nach 27 Minuten die O2-Konzentration bei 12% liegt und nach 28min darunter. Daher ist hier die Zeit von 27min ausschlaggebend. |
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| 05.07.2006, 15:25 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. Und zwar weil du nicht meine Fragen klar beantwortest und ständig andere Zahlen aus dem Hut zauberst. Jetzt löse dich bitte mal von der Versuchsreihe. Die interessiert mich überhaupt nicht. Bitte beantworte diese Fragen: Wir haben einen Raum von der Größe 80m³. Stimmt? Oder sollen wir 75 m³ nehmen? Bitte einen (aber nur einen) Wert wählen. (Im übrigen: wenn ich die Sauerstoff- und Stickstoffvolumen in der Versuchsreihe addiere, komme ich auf ein Gesamtvolumen vom ca. 57 m³.) In dem Raum befindet sich Luft (21% O2 und 79% N2). Stimmt? Nun strömt in den Raum (angeblich reiner) Stickstoff ein. Dieser vermischt sich natürlich mit der Luft. Die Einströmgeschwindigkeit beträgt 3,16m³/min. Stimmt? Oder sind es vielleicht 3,12m³/min ? Bitte einen (aber nur einen) Wert wählen. Die Einströmgeschwindigkeit ist über den Zeitablauf konstant. Stimmt? Der angeblich reine Stickstoff enthält 9% Sauerstoff. Stimmt? Und das delta_t mag in der Versuchsreihe 1 min sein. Für einen mathematischen Ansatz ist es ein infinitesimal kleiner Zeitabschnitt. |
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| 05.07.2006, 15:41 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich schließe das hier, wer 80 nicht von 75 unterscheiden kann, der sollte in der ersten Klasse nochmal neu anfangen. Ich halte den Thread für Verarschung Falls dem nicht so ist, bitte bei mir mit einer vernünftigen Erklärung per PN melden. mfG 20 |
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| 05.07.2006, 15:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@20_Cent: habs wieder geöffnet. Ich habe mir schon so viel Mühe gegeben und möchte doch noch wissen, wie das endet. Vielleicht ist es wirklich einfach zu heiß. 
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| 05.07.2006, 22:51 | Pepe-VR6 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So, entschudigt bitte das hin und her. War heute Mittag wirklich warm und das im Büro ohne Klima. Die 75m³ waren Quatsch. Es sind definitiv 57m³ , war also nur ein Zahlendreher. Die 80m³ am Anfang waren noch unter anderen Bedingungen, als wir nach einer Lösung gesucht haben und keine Werte zum Vergleich haben. Nun haben wir aber Vergleichswerte und können eine mögliche analytische Lösung sofort kontrollieren ob sie hinkommt. Dazu sind aber die 57m³ notwendig. Jetzt aber noch einmal in Ruhe: Also, es strömt NEA (Nitrogen Enriched Air) in den Raum, also Stickstoffangereicherte Luft. Diese besteht aus 91% N2 und 9% O2. Reiner Stickstoff war nur eine theoretische aber unrealistische Betrachtung. Im Raum befindet sich Luft (79% N2 und 21% O2). Die Einströmgeschwindigkeit liegt bei 3,16m³/min. Sie bleibt immer konstant. Ganz ehrlich habe ich mit dem Delta_t meine Probleme. Ich verstehe da wirklich nicht welchen Wert ich sonst nehmen soll. Kann sein dass ich da völlig Plemplem bin und auf dem Schlauch stehe, dann möge man es mir bitte verzeihen. Habe in den Jahren lange keine Differentialgleichungen oder Integralrechnungen mehr behandelt. Dazu haben wir Computer. Bin aus der Materie einfach raus, weil ich diese im Alltag eigentlich nicht mehr benötigt habe. Nur sehe ich ja ein, dass die jetzt sehr helfen würde. @20_Cent Dieser Thread ist leider keine Verarschung. Sicher wirkt er total undurhsichtig, aber wenn man innerhalb von wenigen Minuten mehrere Ideen auf den Tisch gelegt bekommt dann kann man mal leicht den Überblick verlieren. Eine PN hätte es sicher auch getan um mich darauf hinzuweisen. Ich muss mich halt in einigen Details etwas zurückhalten was das Problem angeht, da dies aus Datenschutzgründen notwendig ist. Erkläre dies bei Interesse aber gerne per PN. |
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| 06.07.2006, 08:39 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, bitte! Also wir wollen eine Differentialgleichung aufstellen. Dazu machen wir folgende Überlegungen (das eine oder andere war zwar oben schon gesagt, ich wiederhole es hier nochmal wegen der Vollständigkeit): t mißt die Zeit in Minuten. Wir beginnen bei t=0. x(t) ist die Sauerstoffkonzentration in dem Raum zum Zeitpunkt t. Jetzt kommt das ominöse delta_t: Vom Zeitpunkt t gehen wir einen kleinen Zeitabschnitt weiter. Das kann 1s, 0,1s, 0,01s oder eben ein anderer winzig kleiner Zeitabschnitt sein. Ich nenne diesen Zeitabschnitt delta_t. Wir landen dann also beim Zeitpunkt t + delta_t. Gesucht ist jetzt die Sauerstoffkonzentration zu diesem Zeitpunkt, also x(t + delta_t). Dazu überlegen wir, wieviel Sauerstoff in dem Zeitabschnitt delta_t in den Raum reingeflossen und natürlich auch abgeflossen ist. Und genau dazu brauchen wir die Antworten auf folgende Fragen: 1. Wieviel Gas strömt in der Zeit delta_t in den Raum rein? 2. Wieviel Sauerstoff ist da drin? 3. Wieviel Gas strömt in der Zeit delta_t aus dem Raum raus? 4. Wieviel Sauerstoff ist da drin? Die Antworten ergeben sich ausschließlich aus den gegebenen Randparametern, nicht aus den tatsächlich gemessenen Werten oder sowas. |
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| 06.07.2006, 09:38 | Pepe-VR6 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, also versuch ich es mal. Delta_t ist 1s: 1. Rein strömen ja 0,0527 m³/s (hab es umgestellt da delta_t in s ist). 2. In diesem Gas sind dann 0,04796m³ N2 und 0,004743 m³ O2 zum Zeitpunkt t=1s Dadurch ergibt sich, dass zum Volumenanteil N2 im Raum (45,03m³) diese 0,04796m³ hinzukommen. Zum O2 (11,97m³) kommen dann 0,004743m³ pro s hinzu. Da der Volumenstrom rein (0,0527m³/s) 0 Volumenstrom raus ist passiert folgendes: Das einströmende Gemisch, mischt sich mit der Luft im Raum. Wir haben also N2: 45,07796m³ O2: 11,9747m³ Das Problem allerdings dabei ist, um die Fragen 3 und 4 zu beantworten, es würde ja ein Überdruck entstehen. Dies geschieht nicht durch den Druckausgleich. Ich weiß allerdings im Moment nicht, wie ich das löse. Es strömen ja auch 0,0527m³/s raus, allerdings nicht mehr Luft, sondern das neu entstandene Gemisch. Ich muss mal ein paar Bücher durchgehen, um das zu erläutern und die Antwort geben zu können. Mischungsregel von Gasen usw... Melde mich denn noch mal. Danke übrigens für die Motivatio mir zu helfen, auch wenn es manchmal sehr aussichtslos zu sein scheint. EDIT: Also, wenn der Volumenstrom gleich ist (0,0527m³/s) dann gehen ja meiner Meinung nach 0,041677m³/s N2 und 0,01107m³/s O2 raus. Dann wäre ich wieder bei meinen 0,052m³/s Gesamtvolumenstrom, kommt also hin. |
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| 06.07.2006, 10:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, irgendwie verstehst du das Prinzip noch nicht. Aber das kriegen wir hin. Also erstmal entsteht in dem Raum kein Überdruck. Denn es fließt genauso viel Gas raus wie rein. Du hast jetzt mit konkreten Zahlen gerechnet (also delta_t = 1s, Mischungsverhältnis zu Beginn). Jetzt nehmen wir mal einen Zeitabschnitt delta_t, dessen Dauer nicht bestimmt ist. Dieser Zeitabschnitt ist sehr klein, wird aber trotzdem in Minuten gemessen. Und jetzt nochmal zur 1. Frage: 1. Wieviel Gas strömt in der Zeit delta_t in den Raum rein? Die Antwort ist natürlich keine konkrete zahl, sondern irgendeine Formel, in der irgendwie das delta_t drin vorkommt. Vielleicht mag dir diese Frage blöd vorkommen bzw. auch die Antwort. Ich sehe momentan aber keine andere Möglichkeit, dich aus deiner gedanklichen Sackgasse herauszuholen. PS: Bücher wälzen ist zwar prinzipiell nicht verkehrt. Momentan wäre es aber besser, wenn du dich nur auf meine Fragen konzentrierst. |
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| 06.07.2006, 10:34 | Pepe-VR6 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach so... Ja, da gibt es was: Wenn man da nun für eine Wert x = [O2nea] - [O2] und dx = -d[=2] ergibt sich: Das ganze integriert ist dann: Daraus folgt denn das: wobei x0 = O2nea - O2amb und x = O2nea - O2(t) Somit haben wir eine Zeitfaktor. Zurücksubstituiert kommt man dann auf: und somit der Ausdruck steht komplett im Exponent natürlich. Nach der Zeit umgestellt: Vielleicht hilft dir das ja nun etwas. Mir nicht wirklich, weil ich nicht weiß wie ich da nun weitermachen soll. |
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| 06.07.2006, 11:05 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab mal den Threadtitel geändert . |
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| 06.07.2006, 11:09 | Pepe-VR6 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jep, der passt besser, danke
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| 06.07.2006, 12:05 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm. Die Herleitung dieser Formel verstehe ich nicht so ganz und hat vielleicht auch ihre formalen Schwächen. Wie dem auch sei, sie gibt jedenfalls den zeitlichen Verlauf der Sauerstoffkonzentration an. Allerdings ist mir nicht klar, was mit O2amb beschrieben wird. Da wir anscheinend ständig aneinander vorbei reden, präsentiere ich dir jetzt meine Herleitung: t mißt die Zeit in Minuten. Wir beginnen bei t=0. x(t) ist die Sauerstoffkonzentration in dem Raum zum Zeitpunkt t. V ist das Volumen des Raumes. Q ist die Gas-Einström- bzw. -Ausströmmenge pro Zeit Zum Zeitpunkt t ist also x(t) * V m³ Sauerstoff drin. Im Zeitintervall delta_t strömt nun Q * delta_t m³ Gas in den Raum rein und verdrängt dieselbe Menge Gas. Diese Menge Gas enthält 0,09 * Q * delta_t m³ Sauerstoff. Dieselbe Menge Gas (also Q * delta_t m³) wird aus dem Raum verdrängt. Diese Menge Gas enthält x(t) * Q * delta_t m³ Sauerstoff. Die Sauerstoffmenge zum Zeitpunkt t + delta_t ist also: x(t) * V + 0,09 * Q * delta_t - x(t) * Q * delta_t Der Sauerstoffgehalt in dem Raum ist also wie folgt: bzw.: Durch Übergang delta_t gegen Null erhalten wir nun die Differentialgleichung: Und Differentialgleichungen dieses Typs löst man in 5 Minuten. (Da hat man zwischendurch aber noch einen Kaffee geholt.
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