Bijektion, Involution oder affine Abbildung

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oerny Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektion, Involution oder affine Abbildung
Hallo
ich habe eine Aufgabe, bei der ich einen Kreis konstruieren soll. für a=2. Dann soll sich ein starrer 90° Winkel um denn Ursprung als Scheitel drehen. Ein Schenkel schneidet den Kreis in k in Punkt X, der andere Schenkel wird vond er Kreistangente in X im Punkt Y getroffen. Wo bewegt sich Y?
soweit hab ich das (siehe Skizee)

Ist die Zuordnung eine Bijektion, eine Involution oder eine affine Abbildung?

Wie bestimme ich das?
Meine bisherige ÜBerlegung: Bijektion ist ja wenn jedem y-Wert genau ein x-Wert zugeordnet ist, das ist hier gegeben, es sind nur jedem x-Wert 2y-Werte zugeordnet -> also Bijektion.
Eine Involution wäre wenn liegt hier nicht vor.
eine affine Abbildung "KEINE AHNUNG"
also eine Bijetkion. sitmmt das?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bijektion, Involution oder affine Abbildung
Zitat:
Original von oerny
Hallo
Ist die Zuordnung eine Bijektion, eine Involution oder eine affine Abbildung?


Meine bisherige ÜBerlegung: Bijektion ist ja wenn jedem y-Wert genau ein x-Wert zugeordnet ist, das ist hier gegeben, es sind nur jedem x-Wert 2y-Werte zugeordnet -> also Bijektion.


Puh, also ich hab deine Aufgabe nur mal schnell überflogen. Das mit der Bijektion haut so nicht hin. So wie Du die Abbildung betrachtest, wäre sie noch nicht einmal eine Funktion! Denn da kann jedem x-Wert nur ein y-Wert zugeordnet werden.

Es steht nun aber in der Abbildungsgleichung R². Die wahl der Raumbezeichnung X, Y ist hier etwas unglücklich. Wenn du den Raum R² so auffasst wie in der Skizze (x,y-Koordinatensystem), dann soll jedem Punkt (x, y) ein Bildpunkt zugeordnet werden, wobei (x,y) die Elemente von X (=Kreistangente) beschreiben.

Du müsstet also erstmal die Funktionsgleichung erstellen.

oerny Auf diesen Beitrag antworten »

also langsam:
die skizze zu dem ersten teil der aufgabe müsste stimmen denk ich oder?

und wie stell ich jetzt eine solche funktion auf?
also ich verstehe das jezt so: ich hab punkte (x,y) die durch den Schnittpunkt Y gegeben werden (bzw dessen Verlauf)
und dann???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich haeb zunächst wie gesagt die Aufgabe nur überflogen.Iim Moment bin ich mit der Zeit was knapp. Ich hab mir das jetzt mal ausgedruckt und versuche die Funktionsgleichug aufzustellen, ok.

Wie sehr brennt es? Abgabetermin?

Gruß
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

brennt nicht sehr, brächte es am 11.7..wäre supe rwenn mir helfen könntest!!
danke schon im vorraus!
aber die skizze müsste passen oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ob die skizze komplett stimmt weiß ich noch nicht. aber ich arbeite daran. Ich formuliere die Aufgabe gerade mal etwas um:

Jedem Punkt P auf dem Kreis K( Der stimmt! Augenzwinkern ), um dem Mittelpunkt(-2,0) mit dem Radius r = 2, soll der SChnittpuinkt zweier Geraden g1 ung g2 zugeordnet werden. Dabei gilt:


g2 = Tangente an den Kreis K im Punkt P
g1 = Schnenkel2 eines 90° Winkels mit Scheitelpunkt = Urpsung und Schenkel1 = Gerade durch Ursprung und P.

D.h. um die Funktionsgleichung aufzutellen, brauchen wir die Berechnung des Schnittpunktes.

Ich hab schon mal ein paar Gleichungen aufgestellt, später. Wichtig ist, am Ende brauchen wir eine Zuordnung der Art

Sei

dann ist der Schnittpunkt Y gleich

 
 
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab jetzt mal versucht auf die bestimmungsgeraden zu kommen, komm soweit:
Punkt X :

die steigung der Tangente ist: und die steigung des 2. Schenkels (der der geschnitten wird von der Tangente) ist

das heißt die Gerade des 2. Schenkels ist:

eine Geradengleichung für die Tangente kann ich b nur durch probieren ermitteln (weis nicht wie ich es sonst lösen soll) bekomme dann als Tangentengelichung:

bzw da hier alle x-Werte negativ gilt für


durch gleichsetzen bekomm ich dann heraus:

für den Punkt Y:

es ergibt sich also die gleichung für Y:

ist aber jetzt in der Skizze nur der Teil im 1.Quardanten oder?

stimmt das soweit?

das würde bedeuten das es sich um eine bijektive Funktion handelt oder? (Involution affine Abbildung?)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Servus.

also hier mal meine Gleichungen:

mit

Tangentengleichung in X:





Schenkel2:



Gleichsetzten liefert:





Dabei wirst Du auch "geometrisch schon festgestellt haben, dass es 2 "kritische" Kreispunkte gibt:

(-4,0) und (0,0)

Im Punkt (0,0) können wir geometrisch den Funktionswert (0,0) begründen (warum ist dies auch algebraish möglich? Was sagt die Regel von L'hospital dazu? "0"/"0"?)

Im Punkt (-4,0) scheitern wir geometisch - algebraisch ist (-4/0) eben nicht möglich.

Ansonsten können wir zeigen, dass die Funktion injektiv ist. Wir wollen die Annahme, das 2 verschiedene Punkte der Kreislinie den´gleichen Funktionswert haben zum Widerspruch führen.

Damit sie den gleichen Funktionswert haben können, müssen sie den gleichen -Wert haben. Damit folgt dann aber auch die Gleichheit des -Wertes und somit sind die punkte gleich.

Die Surjekttivität folgt aus der Definition von Y, als Bildmenge von X unter .

Jetzt müssen wir klären, ob wir unter den Begriffen Involution und Affine Abbildung dasselbe verstehen.


Involution:

affine Abbildung: Bijektion + geradentreu + invariantes Teilverhältnis
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die involution würde ich verneinen. Denn das Bild liegt auch außerhalb von [-2,2] und da ist gar nicht defniniert.

Bei der affinen Abbildung hab ich keinen Plan geschockt

Gruß Wink
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

danke erstaml!!!

jetzt hab ich aber eine ganz ganz blöde frage,
also unsere gleichungen sind identisch (bin zwar etwas anders dahin gekommen, dürfte aber egal sein denk ich), bekomme auch die gleichen werte durchs gleichsetzen raus, aber du hsat doch keine funktion oder? stimmt dameine oder stimmt die nicht?bzw wie bekomm ich jetzt eine funktion ?

die kritsichen punkte weis ich leider nicht wie du meisnt, ich habe nur gesehen, das unterhalb der x-achse das ganze ding "umkippt"

und was kann ich da mit lhospital machen? glaube steh gerade voll auf dem schlacuh!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also, aus den geometrischen Anweisungen der Aufgabe, die jedem Punkt einen Schnittpunkt zuordnet, erhalten wir folgende Funktion:



für und durch Auflösen der Kreisgleichung bzw.

Algebraisch ist also das Bild von (0,0) und (-4,0) zunächst nicht definiert.
Geometrisch exisitiert aber im Punkt (0,0) eine Lösung der Konstruktion, nämlich (0,0).

Also definieren wir . Das läßt sich auch Algebraisch beweisen. Mit der Regel von L'Hopital:



Bei (-4,0) sieht es dagegen schlecht aus. Das erkennst Du auch geometrisch. Die Tangente ist eine parallele zu y-Achse durch (-4,0). Der Schenkel2 ist die y-Ache - also kein Schnittpunkt!

Gruß Wink
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

das erscheint mir alles logisch nur eins versteh ich immernoch nicht
wie kommst du auf

also als folgerung es müsste eine Bijektion sein oder?

Grüßle Freude
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Na, wegen der Kreisgleichung - Anschaulich siehst du doch dass für die Kreisplinien Punkte gilt Die 0 habe ich rausgenommen, wegen der Divison durch in der Funktion und als Spezialfall abgehandelt.

Kreisgleichung:



Zur Bijektion hatte ich mich auch schon geäußert. Die Abbildung ist injektiv und surjektv, also bijektiv.
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

danke jetzt ists sogar mir klar!!

Freude Freude Freude Mit Zunge
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne Augenzwinkern
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