[Artikel] Steckbriefaufgaben

29.09.2008, 12:47

tigerbine

[Artikel] Steckbriefaufgaben

In diesem Artikel möchte ich einen Weg aufzeigen, mit dem Steckbriefaufgaben für Polynomfunktionen gelöst werden können. (Je nach konkreter Aufgabenstellung kann man sicherlich auch schneller zum Ziel kommen. Wer nur seine Rechnung überprüfen möchte, sollte sich hier umsehen.) Die erste Frage die man sich stellen sollte bevor man loslegt ist

Was suche ich?

Eine Polynomfunktion. Nicht erschrecken, wenn die erste Darstellung etwas ungewohnt aussieht. Augenzwinkern

Der Index (das was unten steht) soll festhalten, welchen Maximalgrad das Polynom hat. Bei einer quadratischen Funktion wäre das zum Beispiel n=2.

$\begin{eqnarray*} p_n(x)=\sum_{k=0}^n~a_kx^k = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n \end{eqnarray*}$

In der Schule sucht man meist nur für n=1,2,3,4 und es wird oft nicht mit "a mit Index", sondern alphabetisch fortlaufend notiert. Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} p_3(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$

Wie viele Informationen brauche ich?

Vielleicht erinnert man sich noch an den Satz aus der Geometrie: "Eine Gerade ist durch 2 Punkte eindeutig festgelegt.". Diesen können wir auch in die Analysis mitnehmen. Denn eine Gerade ist der Graph eines Polynoms vom Maximalgrad 1:

$\begin{eqnarray*} p_1(x)=ax+b \end{eqnarray*}$

Allgemein gilt sogar, dass man für ein Polynom vom Maximalgrad n, (n+1) Informationen braucht.

Was, wenn ich mehr Informationen habe?

Dann haben wir 2 Möglichkeiten. Entweder es gibt keine Lösung. Dazu möge man sich im xy Koordinatensystem ein Dreieck zeichnen. Notiere die Koordinaten der Ecken. Nun fordere jemanden auf, durch diese 3 Punkte eine Gerade zu legen. Das wird nicht gehen.( 3 Informationen für Polynom vom MaxGrad 1).

Nun zeichne eine Gerade in das Koordiantensystem. Notiere die Koordinaten von 3 Punkten auf dieser Geraden. Fordere wieder jemanden auf, eine Gerade durch diese 3 Punkte zu legen. Diesmal wird es gelingen. Wir werden später sehen, dass in diesem Fall der dritte Punkt keine neue Informationen für uns hatte. ( 2 Informationen für Polynom vom MaxGrad 1).

Was, wenn ich weniger Informationen habe?

In einem Schulbuch sollte normalerweise genau die nötige Anzahl von benötigten Aufgaben vorhanden sein. Solltest du also nicht genug finden, empfiehlt es sich den Text noch einmal aufmerksam durchzulesen. Augenzwinkern

Da wir aber nicht für die Schule, sondern für das Leben lernen, wollen wir uns dennoch mit der Frage auseinandersetzten. Wieder nehmen wie ein xy Koordinatensystem und zeichnen einen Punkt ein. Nun wollen wir dadurch eine Gerade zeichnen. Dabei wird schnell klar, dass wir unendlich viele Möglichkeiten haben. ( 1 Information für Polynom vom MaxGrad 1). Das ist auch allgemein so, haben wir weniger als (n+1) Bedingungen, so gibt es unendliche viele Polynome vom MaxGrad n mit den vorgegebenen Eigenschaften.

Wie sehen diese Informationen aus

Steckbriefaufgaben sind eng mit Kurvendiskussionen verwandt, daher empfiehlt sich ein Blick hier rein. Im Folgenden wollen wir uns der Anschaulichkeit halber mit einem Polynom vom MaxGrad 3 beschäftigen. Es hatte (siehe oben) die folgende Gestalt und gesucht sind a,b,c,d. Ferner notieren wir uns einmal, wie die Ableitungen aussehen würden.

$\begin{eqnarray*} p_3(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$ (*)

$\begin{eqnarray*} p'_3(x)=3ax^2+2bx+c \end{eqnarray*}$ (**)

$\begin{eqnarray*} p''_3(x)=6ax+2b \end{eqnarray*}$ (***)

$\begin{eqnarray*} p'''_3(x)=6a \end{eqnarray*}$ (***)

Alle weiteren Ableitungen sind "gleich 0", also die Nullfunktion und enthalten keine Informationen über a,b,c,d mehr. Sie sind also nicht von Interesse.

Der Graph geht durch den Punkt P(x_p / y_p)

Wir setzten einfach in Funktionsvorschrift (*) ein.

$\begin{eqnarray*} y_p=a(x_p)^3+b(x_p)^2+c(x_p)+d \end{eqnarray*}$ (*)

Dann stellen wir es noch um, um zu verdeutlichen, dass es hier um a,b,c,d geht.

$\begin{eqnarray*} y_p=(x_p)^3\cdot a+(x_p)^2 \cdot b+(x_p) \cdot c+d \end{eqnarray*}$ (*)
Der Graph hat ein Minimum/Maximum/lokalen Extremwert im den Punkt P(x_m / y_m)

Hier stecken 2 Informationen drin. Erstens, der Graph geht durch diesen Punkt (siehe a). Zweitens, es liegt ein lokaler Extremwert vor. Ob Min/Max ist nicht von Bedeutung. Aus der Kurvendiskussion wissen wir, dass für einen solchen Punkt, die notwendige Bedingung lautet, dass die Ableitung an dieser Stelle gleich 0 ist. Also notieren wir mit (**)

$\begin{eqnarray*} 0 = 3a(x_m)^2+2b(x_m)+c \end{eqnarray*}$

Wieder bereiten wir das optisch auf.

$\begin{eqnarray*} 0 = 3(x_m)^2 \cdot a+2(x_m) \cdot b+c \end{eqnarray*}$
Der Graph hat ein Wendepunkt im den Punkt P(x_w / y_w)

Hier stecken 2 Informationen drin. Erstens, der Graph geht durch diesen Punkt (siehe a). Zweitens, die Funktion ändert hier ihr Steigungsverhalten, also hat die zweite Ableitung hier eine Nullstelle. (***)

$\begin{eqnarray*} 0 = 6a(x_w)+2b \end{eqnarray*}$

Wieder bereiten wir das optisch auf.

$\begin{eqnarray*} 0 = 6(x_w) \cdot a +2 \cdot b \end{eqnarray*}$

Damit sind wir mit den Standardfällen von Angaben durch.

Wie berechne ich die Lösung?

Damit wir nicht in einer Fülle von Variablen ersticken, werde ich das an einem Beispiel vorrechnen. Dabei werden wir eine Matrix-Schreibweise für das Gleichungssystem verwenden. Grundprinzip ist dann der Gaußalgorithmus. Den kann man sich, wenn man die Daten entsprechen aufbereitet hat (siehe Rechenbeispiel) dann auch im Board mittels der Mathe Tools überprüfen lassen. Ganz am Ende werden wir uns die Funktion mit dem Funktionen-Plotter zeichnen lassen. Man kann seine Ergebnisse auf dieser Seite auch prüfen lassen: Arndt Bruenner - Steckbriefaufgaben

29.09.2008, 13:29

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph den Wendepunkt O (0|0) mit der x-Achse als Wendetangente und den Tiefpunkt A (-1|-2) hat.

Was suchen wir?

$\begin{eqnarray*} p_4(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$

Ferner notieren wir uns schon einmal:

$\begin{eqnarray*} p'_4(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p''_4(x)=12ax^2+6bx+2c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p'''_4(x)=24ax+6b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p''''_4(x)=24a \end{eqnarray*}$

Wie viele Informationen brauchen wir?

5

Was wissen wir?

Der Graph durch die Punkte O(0/0), A(-1,-2) Wir notieren:

$\begin{eqnarray*} 0 =a (0)^4+b(0)^3+c(0)^2+d(0)+e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2 =a (-1)^4+b(-1)^3+c(-1)^2+d(-1)+e \end{eqnarray*}$

Nun Rechnen wir die Klammern aus und bereiten es optisch auf.

$\begin{eqnarray*} +0 =(+0)\cdot a+ (+0)\cdot b + (+0)\cdot c+ (+0)\cdot d + (+1)\cdot e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2 =(+1)\cdot a + (-1) \cdot b + (+1) \cdot c + (-1) \cdot d + (+1)\cdot e \end{eqnarray*}$
Der Graph hat den Extrempunkt A(-1/-2) Wir notieren:

$\begin{eqnarray*} 0 =4a(-1)^3+3b(-1)^2+2c(-1)+d \end{eqnarray*}$

Wieder ran an die Optik:

$\begin{eqnarray*} (+0) =(-4)\cdot a+ (+3) \cdot b + (-2) \cdot c+ (+1) \cdot d + (+0) \cdot e \end{eqnarray*}$
Der Graph hat den Wendepunkte O(0/0) Wir notieren:

$\begin{eqnarray*} 0=12a(0)^2+6b(0)+2c \end{eqnarray*}$

Wieder ran an die Optik:

$\begin{eqnarray*} 0=(+0) \cdot a + (+0) \cdot b + (+2) \cdot c + (+0) \cdot d + (+0)\cdot e \end{eqnarray*}$
Der Graph hat die x-Achse als Wendetangente in O(0/0) Wir notieren:

D.h. wir kennen die Steigung im Wendepunkt. Sie ist hier gleich 0.

$\begin{eqnarray*} 0=4a(0)^3+3b(0)^2+2c(0)+d \end{eqnarray*}$

Wieder ran an die Optik:

$\begin{eqnarray*} 0=(+0) \cdot a + (+0) \cdot + (+0) \cdot c + (+1) \cdot d + (+0) \cdot e \end{eqnarray*}$

Damit haben wir unsere 5 Informationen. Wer sich wundert, warum die Notation auf der ersten Blick aufgebläht wurde, bekommt nun die Antwort. wir tragen die Informationen in eine Matrix ein. (Wie kann man Formeln schreiben?)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0&0&0&0&1 \\ 1&-1&1&-1&1 \\ -4&3&-2&1&0 \\ 0&0&2&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d\\e \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre die Matrix vollbesetzt (d.h. ohne Nullen), so müssten man mit dem Gaußalgorithmus beginnen. Wir wollen hier aber schon einmal Informationen auslesen (Zeile 1, Zeile 4, Zeile 5)

$\begin{eqnarray*} e=0 , \quad c=0, \quad d =0 \end{eqnarray*}$

Mit diesem Informationen erhalten wir dann die Matrix (Wer dies nicht aus der Matrix ablesen kann, werfe noch einmal einen Blick in die obigen Gleichungen):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun der Gausalgorithmus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \frac{3}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -\frac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir erhalten also

$\begin{eqnarray*} b = 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = -2 + 8 = 6 \end{eqnarray*}$

Und damit lautet die gesuchte Funktion:

$\begin{eqnarray*} p_4(x)=6x^4+8x^3 \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

[Artikel] Steckbriefaufgaben

Verwandte Themen