konvergenz

29.09.2008, 13:19

joeglider

konvergenz

hallo,

hab mal eine frage zur konvergenz einer aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge mit Grenzwert a und b mit $\begin{eqnarray*} b \neq a \end{eqnarray*}$
Beh.: $\begin{eqnarray*} \exists n_o \in \mathbb N \forall n \geq n_0 : a_n \neq b \end{eqnarray*}$

Weiß nicht genau wie ich den Beweiß machen soll. Verstanden auf was die raus wollen habe ich auch.
Ansatz wäre so:

Es gilt $\begin{eqnarray*} a_n -> a \end{eqnarray*}$ , also per Def

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists n_0 \in \mathbb N \forall n \geq n_0: \mid a_n-a \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

das ist klar nun weiß ich aber leider nicht weiter.

danke

29.09.2008, 13:22

tmo

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wähle $\begin{eqnarray*} \varepsilon = |b-a| \end{eqnarray*}$ .

29.09.2008, 13:24

joeglider

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und wie komme ich darauf?

29.09.2008, 13:43

tmo

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Durch Überlegung verwirrt

Die Idee ist, dass die Folgenglieder ab einem bestimmten Index in einer beliebig kleinen Umgebung von a liegen. Und nun wählen wir diese Umgebung so klein, dass b nicht drinliegt.

29.09.2008, 13:43

Jacques

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Wenn man diesen Radius wählt, dann liegt b nicht in der entsprechenden $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von a!

// sorry, ich wollte mich nicht einmischen. Ups

29.09.2008, 14:34

joeglider

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ok habe ich sowei verstanden.

nun setzte ich $\begin{eqnarray*} \epsilon = \mid b-a \mid > 0 \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} \mid a_n - b \mid > \epsilon = \mid b-a \mid > 0 \end{eqnarray*}$ zeigen kann habe ich es dann geschaft??? aber wie kann ich das zeigen???

29.09.2008, 14:36

tmo

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warum größer?

Es folgt doch sofort $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\varepsilon=|b-a| \end{eqnarray*}$

Klarer Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} a_n = b \end{eqnarray*}$ !

29.09.2008, 14:43

joeglider

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sry versteh das noch nicht so ganz. kannst du biite versuchen mir das zu erklären? verstehe nicht wie ich es damit schon gezeigt haben(durch deinen Widerspruch)

danke

29.09.2008, 14:45

tmo

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Ist dir denn klar, dass aus $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<|b-a| \end{eqnarray*}$ direkt $\begin{eqnarray*} a_n \neq b \end{eqnarray*}$ folgt?

29.09.2008, 14:46

joeglider

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nein :-(

29.09.2008, 14:49

tmo

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Dann denk mal drüber nach. Wie lässt sich der Betrag denn veranschaulichen? Man redet doch auch vom Abstand.

29.09.2008, 14:52

joeglider

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oh man jetzt sehe ich es vielen dank Hammer

29.09.2008, 14:53

tmo

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Hat sich die Aufgabe damit erledigt?

29.09.2008, 17:54

joeglider

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oben ist kleiner Fehler drin.... kann bitte einer des löschen

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge mit Grenzwert a und b mit $\begin{eqnarray*} b \neq a \end{eqnarray*}$
Beh.: $\begin{eqnarray*} \exists n_o \in \mathbb N \forall n \geq n_0 : a_n \neq b \end{eqnarray*}$

Beweis:
Es gilt $\begin{eqnarray*} a_n -> a \end{eqnarray*}$ , also per Def

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists n_0 \in \mathbb N \forall n \geq n_0: \mid a_n-a \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Wähle nun $\begin{eqnarray*} \epsilon = \mid a-b \mid \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \forall n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ gelten muss $\begin{eqnarray*} \mid a_n-a \mid < \epsilon =\mid a-b \mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow b \neq a_n \end{eqnarray*}$

29.09.2008, 22:53

Jacques

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Wenn ich mir eine kleine Kritik erlauben darf: Augenzwinkern

Zitat:

Original von joeglider

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge mit Grenzwert a und b mit $\begin{eqnarray*} b \neq a \end{eqnarray*}$

Den Satz habe ich zuerst gar nicht verstanden. Schreibe lieber: „Sei ... eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a, und sei b eine reelle Zahl mit ...“ o. ä.

Zitat:

Original von joeglider

Beweis:
Es gilt $\begin{eqnarray*} a_n -> a \end{eqnarray*}$ , also per Def

Den Pfeil schreibt man mit \rightarrow

Zitat:

Original von joeglider

Wähle nun $\begin{eqnarray*} \epsilon = \mid a-b \mid \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \forall n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ gelten muss $\begin{eqnarray*} \mid a_n-a \mid < \epsilon =\mid a-b \mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow b \neq a_n \end{eqnarray*}$

Das würde ich anders aufschreiben:

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon = |b - a| \end{eqnarray*}$

Weil dann $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ positiv ist, gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ...

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