Frage zur Aussagenlogik

29.09.2008, 23:06

MatheFrage

Frage zur Aussagenlogik

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:

Man zeige sowohl mit Hilfe einer Wahrheitstafel als auch durch Anwendung geeigneter Sätze der Aussagenlogik, dass

(A v -(B u A)) u (C v (D v C))

äquvalent ist zu C v D.

(Leider hab ich keine Ahnung, wie ich diese Zeichen hier mache. Deswegen ist u = und, v = oder und - = nicht)

Nun, das mit der Wahrheitstafel hab ich gemacht. Das mit dem rechnerischen Beweisen haut aber nicht so ganz hin, bzw. finde ich keine Sätze, die ich hier anwenden könnte.

Durch Überlegen dachte ich mir, dass (C v (D v C)) ja dasselbe ist wie (C v D). Ersteres besagt ja, dass entweder C gilt oder (C oder D). Das kann man ja dann kürzen auf C v D. Aber was mach ich mit dem (A v -(B u A))?

Vielen Dank :-)

29.09.2008, 23:10

kiste

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Für den ersten Teil wendest du die Regel von de Morgan an

29.09.2008, 23:51

MatheFrage

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Aber dann bleibt ja:

(A v -A v -B) und (D v C)

wird zu

(1 v -B) und (D v C)

30.09.2008, 00:01

papahuhn

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Hast du die Aufgabenstellung korrekt abgeschrieben?

30.09.2008, 00:18

MatheFrage

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Ja. Und laut Wahrheitstafel passt es ja auch. verwirrt

30.09.2008, 01:24

papahuhn

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Ich wüsste nicht, wie das B syntaktisch verschwinden sollte, da es nur einmal vorkommt.
Außerdem ist $\begin{eqnarray*} C = D = 0, A = 1 \end{eqnarray*}$ doch ein Gegenbeispiel.

30.09.2008, 01:53

Muffi

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Zitat:

Original von papahuhn
Ich wüsste nicht, wie das B syntaktisch verschwinden sollte, da es nur einmal vorkommt.
Außerdem ist $\begin{eqnarray*} C = D = 0, A = 1 \end{eqnarray*}$ doch ein Gegenbeispiel.

Das "Gegenbeispiel" zeigt aber nichts. Für deine Interpretation liefert $\begin{eqnarray*} (A\vee\neg(B\wedge A))\wedge(C\vee(D\vee C)) \end{eqnarray*}$ ebenso 0 wie $\begin{eqnarray*} C\vee D \end{eqnarray*}$ . Dass die Äquivalenz gilt, ist auch intuitiv sofort klar: $\begin{eqnarray*} A\vee\neg(B\wedge A) \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} A=1 \end{eqnarray*}$ sowieso komplett wahr und für $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \neg(B\wedge A) \end{eqnarray*}$ wahr. Der "rechte" Teil der Formel kann sofort zusammengefasst werden zu $\begin{eqnarray*} C\vee D \end{eqnarray*}$ , da man die Klammern weglassen kann und damit auch ein $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .

Syntaktisch: $\begin{eqnarray*} (A\vee\neg(B\wedge A))\wedge(C\vee(D\vee C))\equiv(A\vee(\neg B\vee\neg A))\wedge(C\vee D\vee C)\equiv(A\vee\neg B\vee\neg A)\wedge(C\vee D)\equiv(1\vee\neg B)\wedge(C\vee D)\equiv C\vee D \end{eqnarray*}$ .

Dabei benutze ich
$\begin{eqnarray*} A\vee\neg A=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1\vee B=1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} 1\wedge X=X \end{eqnarray*}$ für jede AL-Formel $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Dass das B nur ein mal vorkommt, ist also völlig egal. smile

Edit: Fehlendes $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ eingefügt, danke für den Hinweis!

30.09.2008, 01:56

MatheFrage

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D.h.

(1 v -B)

wird einfach zu 1? Wenn ja, wieso?
Leider steht in meinem Skript (und auch in der Vorlesung wurde nichts gesagt), wie man weiterrechnet, wenn 1 oder 0 vorkommt. unglücklich

30.09.2008, 08:23

kiste

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Bei oder muss mindestens eines der beiden 1 werden. Da bei $\begin{eqnarray*} 1 \vee X \end{eqnarray*}$ bereits eines 1 ist, wird der gesamte Term 1.
Das muss nicht im Skript stehen, manchmal muss man eben auch nachdenken

30.09.2008, 11:10

papahuhn

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Zitat:

Original von Muffi
[quote]Original von papahuhn
Ich wüsste nicht, wie das B syntaktisch verschwinden sollte, da es nur einmal vorkommt.
Außerdem ist $\begin{eqnarray*} C = D = 0, A = 1 \end{eqnarray*}$ doch ein Gegenbeispiel.

$\begin{eqnarray*} (A\vee\neg(B\wedge A))\wedge(C\vee(D\vee C)) \end{eqnarray*}$

Du hast ein $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ gesetzt, wo MatheFrage ein $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ geschrieben hat.

Edit:

Gnaa, das u soll ja ein $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ sein. Das ist aber nicht sehr intuitiv...

30.09.2008, 12:45

MatheFrage

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Ok, danke für eure Hilfe.

Zitat:

Das muss nicht im Skript stehen, manchmal muss man eben auch nachdenken

Na ja, ich wusste gar nicht, wie ich mit einer 1 oder 0 in der Formel umgehen muss, bzw. wofür es nun steht (also welche "Variable" nun den Wahrheitswert 1 hat, wenn einfach eine 1 dasteht). Sowas kam auch in meinem Skript nicht vor. unglücklich

Mathe liegt mir eh nicht wirklich, aber es muss halt im Rahmen des Studiums sein.

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