Direkter und indirekter Beweis |
| 30.09.2008, 16:23 | MatheFrage | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Direkter und indirekter Beweis Für spitze Winkel a und b gilt: sin (a + b) < sin a + sin b Na ja, irgendwie fehlt mir der Ansatz. sin (a +b ) kann ja ]0 bis 1[ sein, und sin a + sin b kann Werte von ]0 bis 2[ annnehmen. Das alleine bringt mir ja noch nicht viel (denn somit könnte ja rein theoretisch aus obigen Bedingungen der erste Sinuswert 0,5 sein und die Summe der beiden anderen Werte 0,3. Damit würde obige Behauptung nicht stimmen. Wie muss ich demzufolge "formulieren", bzw. wo kann ich ansetzen? Vielen Dank |
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| 30.09.2008, 16:43 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Direkter und indirekter Beweis Die Additionsformel für den Sinus ergibt einen direkten Beweis. |
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| 30.09.2008, 17:47 | MatheFrage | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für deine Antwort! Du meinst sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)? Aber ich weiß trotzdem nicht, wie ich das "formulieren" soll, so dass da ein Beweis draus wird. Soll ich die Add.formel (bzw. die rechte Seite von) dann kleiner gleich "sin(a)+sin(b)" setzen? |
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| 30.09.2008, 17:55 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn die Winkel a und b spitz sind, dann gilt 0 < cos a < 1 und ebenso für cos b. Das kannst du auf der rechten Seite verwenden. |
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| 30.09.2008, 19:00 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wichtig ist dabei auch, dass der Sinus für (positive) spitze Winkel positiv ist. |
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| 30.09.2008, 20:40 | MatheFrage | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für eure Antworten! Aber muss ich das nun gleich bzw. kleiner-gleich-setzen? Also sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b) =< sin(a)+sin(b) Aber ich kann ja nun schlecht Intervalle einsetzen ]0,1[ * ]1,0[ + ]0,1[ * ]1,0[ =< ]0,1[ + ]0,1[ 
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| 30.09.2008, 21:35 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist doch einfach sin(a)*cos(b) < sin(a), weil 0 < cos(b) < 1 und cos(a)*sin(b) < sin(b), weil 0 < cos(a) < 1 Und damit hast du doch alles! |
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| 30.09.2008, 21:50 | MatheFrage | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah, vielen Dank, stand mal wieder auf dem Schlauch. 
Aber wie kann ich sowas nun indirekt beweisen? |
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| 30.09.2008, 22:21 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gute Frage! Ich rätsele, was mit indirekt gemeint sein könnte? Man könnte geometrisch argumentieren, aber das wäre auch ein direkter Beweis. |
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| 30.09.2008, 22:44 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
direkt: indirekt:
Sollte man also oben umformulieren? |
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| 01.10.2008, 16:00 | MatheFrage | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also die Aufgabe mit indirektem/direktem Beweis steht im Kapitel der Aussagenlogik.
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| 01.10.2008, 16:03 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist das nun eine Frage oder steht die Aufgabe wirklich da... |
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| 01.10.2008, 18:46 | MatheFrage | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Aufgabe steht wirklich so da und ist aus dem kapitel "Aussagenlogik".
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| 01.10.2008, 18:56 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut, dann formuliere mal das zu beweisende um 
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| 01.10.2008, 19:53 | MatheFrage | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiß leider nicht so ganz, wie ich das machen muss. Also A impliziert B. D.h. als A bzw. als Voraussetzung wähle ich a = spitz und b = spitz Und als B bzw. Folgerung dann eben o.g. Formel: sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b) =< sin(a)+sin(b) Aber das kann doch nicht ausreichen, oder? Also man sieht ja, dass es stimmt, da der cos nie 1 wird, und die linke Seite somit immer geringer ausfällt als die rechte. Aber wie schreib/beweis ich das dann mathematisch?
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| 01.10.2008, 20:01 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Direkter und indirekter Beweis
Dass heißt Wir drehen um. Dann ist die Voraussetzung Was muss man daraus folgern? |
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| 01.10.2008, 20:11 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn es ausreicht, den obigen direkten Beweis formal in einen indirekten Beweis zu verwandeln, ist das kein Problem. Man nehme an, die Behauptung sei falsch. Dann muss es mindestens ein Paar spitzer Winkel a, b geben, für die gilt: sin(a + b) >= sin(a) + sin(b) Wegen des Additionstheorems müsste dann aber entweder cos(a) = cos(b) =1 gelten oder cos(a) bzw. cos(b) > 1. Im ersten Fall wären beide Winkel 0. Es sind aber nur Winkel > 0 gemeint. Der zweite Fall geht gar nicht, da der Cosinus immer <= 1 ist. Ich habe nach einem Widerspruchsbeweis gesucht, der in direkter Form nicht so einfach funktioniert. |
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| 01.10.2008, 21:22 | MatheFrage | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Direkter und indirekter Beweis
a und b sind nicht spitz.
Aber wenn ich diese beiden Sätze hinschreibe, ist es ja noch kein Beweis. Ich weiß nicht, wie ich das dann weiter ausführen soll. 
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| 01.10.2008, 23:54 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Direkter und indirekter Beweis Ich habe auch nicht gesagt, dass ich eine Komplettlösung liefern werde, sonder nur versucht zu helfen, was unter einem indirekten Beweis zu verstehen ist. Zum Beispiel das Pferd von hinten aufzäumen.
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