Urnenproblem

30.09.2008, 17:52	m&m	Auf diesen Beitrag antworten »
Urnenproblem Hallo ihr Lieben ich hab folgendes Problem: Urne A enthält vier weiße, Urne b vier schwarze Kugeln, nun wird zufällig aus beiden Urnen eine Kugel entnommen und in die andere gelegt, insgesamt wird der Vorgang dreimal durchgefürt. Es soll nun die W'keit berechnet werden, das sich am Ende in Urne A 0,1,2,3,4 weiße Kugeln befinden. 0 weiße Kugeln können sich am Ende nicht in Urne A befinden, da der Vorgang ja nur dreimal ausgeführt wird, also ist die W'keit dafür 0. Ich würde nun gerne wissen wie ich sytematisch die anderen Möglichkeiten auszählen kann, oder mit ner Formel die W'keit sofort berechnen kann...vielleicht kann mir dabei ja einer weiterhelfen... Liebe Grüße, m&m
30.09.2008, 22:19	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Für mich sieht das nach starken Abhängigkeiten aus. Ich würde das Ganze sogar durch einen Markovprozess ausdrücken, denn die Übergangswahrscheinlichkeiten von einem Zustand $\begin{eqnarray} Z_i \end{eqnarray}$ in einen Zustand $\begin{eqnarray} Z_{i+1} \end{eqnarray}$ sind, da wir nur Kugeln auswählen, vollständig vom aktuellen Zustand abhängig. Wir haben : Ich drücke einen Zustand durch einen 4 Stelligenvektor (a,b,c,d) aus. Dabei ist a Anzahl wer weissen Kugeln in Urne A, b Anzahl der schwarzen Kugeln in A, c Anzahl der weissen Kugeln in Urne B und d Anzahl der schwarzen Kugeln in B. Damit gibt es folgende Zustände : $\begin{eqnarray} Z_1 : \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix},Z_2 : \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, Z_3 : \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix},Z_4 : \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}, Z_5 : \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Übergangswahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray} P(Z_{i+1} \| Z_{i}) \end{eqnarray}$ kann man dann für jede Kombination ausrechnen. Wir führen noch die Zeitzustandsvariable $\begin{eqnarray} T_i , i \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ein. Nun ist gefragt nach : $\begin{eqnarray} P(T_4 = Z_j \| T_1 = Z_1) ~ j \in \{1,2,3,4,5\} \end{eqnarray}$ Aus der Markoveigenschaft erhalten wir : $\begin{eqnarray} P(T_4 = Z_j \| T_1 = Z_1) = \sum_{k = 1}^{5}\sum_{l=1}^{5}P(T_4 = Z_j \| T_3 = Z_k)P(T_3 = Z_k \| T_2 = Z_l)P(T_2 = Z_l \| T_1 = Z_1) \end{eqnarray}$ Da man hier relativ viel berechnen muss, würde ich hier ein Programm schreiben. Allerdings vermute ich das es hier eine wesentlich bessere Lösung gibt. Vielleicht sieht auch ein Experte hier einen Fehler bei mir oder eine bessere Methode. edit : Wir haben hier eine homogene Markovkette, d.h wenn Du die Zustandsüberführungsmatrix M hast so ist $\begin{eqnarray} P(T_4 = Z_j \| T_1 = Z_1) := P_{1j}^3 = (M^3)_{1j} \end{eqnarray}$ und das geht noch von Hand.

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