Glättung

30.09.2008, 19:40

system-agent

Glättung

Hallo zusammen,

bei einer Rechnung stehe ich im Moment vollkommen auf dem Schlauch. Ich hoffe jemand kann mir das erklären:

Man hat eine 1-periodische und stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb R\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ unendlich oft differenzierbar und $\begin{eqnarray*} g=0 \end{eqnarray*}$ sonst und $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\mathbb R}g(t)\dd t=1 \end{eqnarray*}$ .

Nun soll gezeigt werden, dass die gefaltete Funktion $\begin{eqnarray*} g*f \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar ist.
Es wird angesetzt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{(g*f)(x+h)-(g*f)(x)}{h}=...=\lim_{h\to 0}\int\limits_{\mathbb R}\frac{g(x+h-t)-g(x-t)}{h}f(t)\dd t\overbrace{=}^{?}\int\limits_{\mathbb R}\lim_{h\to0}\frac{g(x+h-t)-g(x-t)}{h}f(t)\dd t \end{eqnarray*}$

Wieso darf man hier das Integral und den Limes vertauschen? Jemand meinte mal etwas von wegen gleichmässiger Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ [da das Integral eigentlich nur über ein Kompaktum geht, denn $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist sehr oft Null, und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ stetig] nur habe ich keinen passenden Satz gefunden.
Ich kenne das nur für gleichmässige Konvergenz für Funktionenfolgen... verwirrt

30.09.2008, 20:20

WebFritzi

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Wenn es das Lebesgue-Integral ist, was verwendet wird, greift hier der Satz von Lebesgue (über die majorisierte Konvergenz).

30.09.2008, 21:00

system-agent

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OK, danke schonmal.
Leider kam der in der Vorlesung noch nicht, aber bei dem Prof könnts trotzdem gemeint sein...

30.09.2008, 21:07

Mazze

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Im Falle des Lebesqueintegral kann Dir auch der Satz von Beppo Levi (Monotone Konvergenz) helfen. Sofern deine Folge dort monoton wachsend ist.

edit : So wie ich das gerade überschaue kannst Du den Hinweis wohl vergessen.

01.10.2008, 07:04

WebFritzi

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Ja, den kann er vergessen, denn hier wächst nichts monoton. Augenzwinkern

Der Integrand konvergiert gleichmäßig (in h) gegen g'(x-t)f(t). Das kannst du an der gleichmäßigen Stetigkeit der ableitung von g erkennen.

01.10.2008, 18:05

system-agent

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Zitat:

Original von WebFritzi

Der Integrand konvergiert gleichmäßig (in h) gegen g'(x-t)f(t). Das kannst du an der gleichmäßigen Stetigkeit der ableitung von g erkennen.

Ich verstehe nicht was du meinst....

02.10.2008, 01:00

Mathespezialschüler

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Und was verstehst du daran nicht? Es wird ein Grenzübergang durchgeführt ( $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ ) und für jedes $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ verläuft dieser Grenzübergang ungefähr gleich schnell (das bedeutet das gleichmäßig ja ungefähr). Es ist ungefähr folgendermaßen mit Funktionenfolgen vergleichbar: Was bei Funktionenfolgen die Laufvariable $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist, ist hier $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ . Was bei Funktionenfolgen die Funktionsvariable $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist, ist hier $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Du musst also zeigen, dass, unabhängig davon, welches $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ betrachtet wird, der Ausdruck in $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ gleich schnell, d.h. gleichmäßig konvergiert. Und für den Beweis dieser Tatsache denke einmal an den Mittelwertsatz und dann an WebFritzis Hinweis.

02.10.2008, 19:01

system-agent

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OK, perfekt, danke euch beiden Freude

Mir war das bischen suspekt das als eine Funktionenfolge aufzufassen.

02.10.2008, 19:26

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von system-agent
Mir war das bischen suspekt das als eine Funktionenfolge aufzufassen.

Das solltest du auch gar nicht tun. Es ist auch keine Funktionenfolge und als diese solltest du sie auch nicht auffassen. Vielmehr bestand deine Aufgabe jetzt darin, dich damit anzufreunden, dass man den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz auch bei allgemeineren Fällen definieren kann und er dort ähnliche Ergebnisse bringt.

04.10.2008, 14:53

WebFritzi

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Das ist sowas wie $\begin{eqnarray*} x_n\to x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\to x_0. \end{eqnarray*}$

04.10.2008, 16:18

system-agent

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Danke

, jetzt weiss ich wie das gemeint war, hatte mich ungenau ausgedrückt.

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