untervektorräume, beispiel

30.09.2008, 21:57

mr.rock

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untervektorräume, beispiel

kann mir jemand konkret am beispiel

{(x1,x2 element von R^2| 4x1+x2=0}

erklären, ob es sich um einen untervektorraum handelt oder nicht, und warum??

es gibt ja die 3 bedingungen:

U darf nicht leer sein
Für alle x,y € U gilt: x+y € U
Für alle a € K, x € U gilt: a*x € U

aber des kapier ich nicht. wo muss ich jetzt was probieren/erkennen, um zu entscheiden ob es ein UVR ist oder nicht?

30.09.2008, 22:07

tigerbine

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RE: untervektorräume, beispiel
$\begin{eqnarray*} U=\{(x_1,x_2) \in \mathbb R^2~|~4x_1+x_2 = 0\} \end{eqnarray*}$

Na dann arbeite die Punkte doch einfach ab. Welcher Vektor muss immer drin liegen? Der Nullvektor. Dann schaun wir mal

$\begin{eqnarray*} 4\cdot 0+0 = 0 \end{eqnarray*}$ Freude

Freude

Nun nehmen wir an, wir haben 2 Vektoren x und y die in U liegen. Was ist dann mit der Summe? Die Vektoraddition ist Komponentenweise. Wir müssen die Rechenregeln für Reelle Zahlen benutzen, Distributiv, Kommutativ, assoziativ. Wir schreiben die Linke Seite für sen Summenvektor

$\begin{eqnarray*} 4(x_1+y_1) +(x_2+y_2) \end{eqnarray*}$

nun stellen wir das um

$\begin{eqnarray*} 4x_1+4y_1 +x_2+y_2 \end{eqnarray*}$

und nochmal

$\begin{eqnarray*} 4x_1+x_2 + 4y_1 +y_2 \end{eqnarray*}$

Nun noch ne klammer drum

$\begin{eqnarray*} (4x_1+x2) + (4y_1 +y_2) \end{eqnarray*}$

Da x und y in U liegen, folgt

$\begin{eqnarray*} 0+0=0 \end{eqnarray*}$

Und die Summe liegt auch drin. Für Punkt 3 bist du dran.

30.09.2008, 22:08

Cordovan

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Überprüfe doch mal die drei Bedingungen!

Also: Wenn ich behaupt, U sei leer, kannst du mich vom Gegenteil überzeugen, indem du mir ein Element von U nennst. Nenn mir mal ein Element von U!

Cordovan

30.09.2008, 22:29

mr.rock

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??
also wenn ich mal angenommen für x1 = 1,
einsetze und für x2= 3 einsetze, dann kommt doch nicht
0+0=0 am ende raus, oder?

könntest du ev noch etwas detailierter erklären tigerbiene?

thx

30.09.2008, 22:41

tigerbine

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Tja, liegt wohl daran, dass (1,3) nicht in U liegt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Nun nehmen wir an, wir haben 2 Vektoren x und y die in U liegen.

30.09.2008, 22:51

mr.rock

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was liegt denn genau in U? nur 0?

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30.09.2008, 22:54

tigerbine

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Prüf doch erstmal Punkt 3, bevor wir die konkreten Elemente ansehen. unglücklich

unglücklich

30.09.2008, 23:09

mr.rock

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ich kann nicht 3 machen, weil ich nicht vertshe was du in 2 gemacht hast smile

smile

also ich muss nochmal genau nachfragen: warum liegen 1,3 nicht in U?

30.09.2008, 23:12

tigerbine

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Spiel keine Spielchen mit mir.

setzt doch mal in die Bedingung ein.

$\begin{eqnarray*} U=\{(x_1,x_2) \in \mathbb R^2~|~4x_1+x_2 = 0\} \end{eqnarray*}$

Würde mich doch sehr wundern, wenn da 0 rauskommt.

30.09.2008, 23:14

mr.rock

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hm aber genau das ist doch meine frage: natürlich kommt da ned 0 raus. aber dann kann es doch auch kein UVR sein, oder?

30.09.2008, 23:19

tigerbine

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Du hörst nicht zu. Ich habe gezeigt, dass (0,0) drin liegt. Du nimmst einfach einen "konkreten" Vektor, und bist dann verwundert, dass er nicht drin liegt. geschockt

geschockt

Ich habe angenommen, es gibt 2 weitere Vektoren. Im schlechtesten Fall sind das eben beidesmal (0,0), denn der liegt ja drinnen. Dann folgere ich NUR über die Rechengesetze, das dann auch die Summe der beiden Vektoren in U liegt.

03.03.2011, 18:26

zoj

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Das Thema ist schon etwas älter aber da ich mich gerade mit den Untervektorräumen auseinander setze, würde ich die Aufgabe gerne zu Ende rechnen.

Wir waren ja bis Punkt 3 angekommen

Folgendes sollte noch gezeigt werden:
$\begin{eqnarray*} a \in K , u \in U => a*u \in U<br /> 4a x_{1} + a x_{2} =0<br /> a(4 x_{1} + x_{2} ) =0 \end{eqnarray*}$

Ist das ok so?

03.03.2011, 18:36

tigerbine

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Ja. Du must bei den Rechnungen noch transparenter machen, was du reinsteckst und was du folgerst.

Für a aus K und u aus U gilt für aU = (ax_1, a_x_2)^T[/l]:

$\begin{eqnarray*} 4ax_1 +a_x2 = a(4x_1+x_2) = a \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Somit ist au auch in U.

03.03.2011, 19:41

MatheMathosi

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Also den letzten Schritt mit a x 0 = 0 verstehe ich jetzt nicht genauso wie im 2. Schritt 0 + 0 = 0. Ist das nicht überflüssig, da ja

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> (4x_1 + x_2) + (4y_1 + y_2) = 0 <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

schon einzeln in U sind ?

03.03.2011, 20:04

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} 4ax_1 +a_x2 = a(4x_1+x_2) \end{eqnarray*}$

Bis hierin haben wir einfach nur das im Distributivgesezt angewendet. Hat noch nichts mit U und er besonderen Gestalt zu tun.

$\begin{eqnarray*} a \cdot 0 \end{eqnarray*}$

Hier benutzen wir wissen über u aus U

$\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$

Hiermit erhalten wir eine Aussage über au. Daher sind alle Schritte wichtig.

03.03.2011, 20:07

MatheMathosi

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Achso d.h. da wir ja wissen, dass

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> 4x_1 + x_2 = 0<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

da wir ja ein element aus U genommen haben

folgt dann a x 0 = 0

Ok gut danke

03.03.2011, 20:08

tigerbine

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Genau. Und das ist wichtig. Die Aufgaben sind hier nur so einfach, dass man es meist schon sieht. Das verlockt unsauber zu arbeiten. Man sollte es hier aber gerade üben. Hilft sehr viel für später. Wink

Wink

09.01.2013, 21:02

Monsterin

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Ich knüpfe hier grade mal an, sitze an einer ähnlichen Aufgabe..
Also verstehe ich das richtig, dass mit diesem Verfahren bewiesen wurde, dass $\begin{eqnarray*} 4x1 + x2 = 0 \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum ist?

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