Rotation und Translation eines kubischen Polynoms?

30.09.2008, 22:42	Alex1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotation und Translation eines kubischen Polynoms? Hallo zusammen! Ich glaube, ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch, den ganzen Tag probiere ich schon herum und komme einfach nicht auf meinen Fehler: Ich habe ein Polynom dritten Grades: $\begin{eqnarray} f(x) = a + b x + c * x^2 + d * x^3 \end{eqnarray}$ Die Werte für a (= Achsenabschnitt), b (= Tangentenanstieg), c und d sind bekannt. Nun habe ich ein zweites Koordinatensystem, welches so verschoben und verdreht ist, dass sich der Ursprung bei x0 = a befindet und die y-Achse die Steigung b besitzt. Das heißt, hätte ich keinen quadratischen und kubischen Term in der oben genannten Funktion, würde die neue y-Achse f(x) entsprechen. Mein Problem ist, dass ich das Polynom / die Polynome brauche, die dieselbe Funktion in beiden Koordinatensystemen beschreibt. Im ersten ist es f(x), die hab ich ja schon. Aber im zweiten kann es ja nicht einfach $\begin{eqnarray} g(x) = cx^2 + dx^3 \end{eqnarray*}$ sein ... klappt nicht, bekomme immer geringfügig falsche Werte. Versteht man mein Problem? ;-) Bin für geistige Mund-zu-Mund-Beatmung dankbar. Gruß, Alex
30.09.2008, 23:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotation und Translation eines kubischen Polynoms? Kannst du mal ein konkretes Beispiel geben. Also wie das vorher und nachher aussehen soll. Mag sein dass ich einfach zu müde bin, um es so zu verstehen.
01.10.2008, 10:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotation und Translation eines kubischen Polynoms? Einmal zu deinen Begriffen. Also a als y-Achschenschnitt zu bezeichnen, das verstehe ich noch. Bei b bin ich schon überfragt, dann von welcher Tangente sprichst du?
01.10.2008, 15:35	bishop	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich das richtig verstehe hat man ein Polynom in zwei Dimensionen. y=a+bx+cx²+dx³ Dann führt man eine Koordinatentransformation durch mit $\begin{eqnarray} \vec{x'}=D\vec{x}+\begin{pmatrix}0 \\ a \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und D ist die Drehmatrix mit dem Argument arctan(b) gefragt ist die Funktionsgleichung des Polynoms nach der Koordinatentransformation ich grübel noch an einem vernünftigen Ansatz ohne es zu schwer zu machen...
02.10.2008, 09:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Im gegebenen Koordinatensystem seien $\begin{eqnarray} \vec{i} = \left( 1,0 \right), \, \vec{j} = \left( 0,1 \right) \end{eqnarray}$ die Einheitsvektoren. Hat ein Punkt die Koordinaten $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ , so heißt das gerade $\begin{eqnarray} \left( x,y \right) = x \, \vec{i} + y \, \vec{j} \end{eqnarray}$ Nun führst du neue Koordinaten ein: Es sei $\begin{eqnarray} \vec{o} \, ' = \overrightarrow{OO'} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} O' \end{eqnarray}$ alter und neuer Ursprung seien, und $\begin{eqnarray} \vec{i} \, ', \, \vec{j} \, ' \end{eqnarray}$ die neue Basis. Die neuen Koordinaten $\begin{eqnarray} x',y' \end{eqnarray}$ sind dann durch die Beziehung $\begin{eqnarray} \left( x,y \right) = \vec{o} \, ' + x' \, \vec{i} \,' + y' \, \vec{j} \, ' \end{eqnarray}$ gekennzeichnet. Nun läßt du in deiner Frage einiges offen. Soll das neue Koordinatensystem rechtwinklig sein (was ich vermute)? Sollen die neuen Einheitsvektoren dieselbe Länge haben wie die alten? Dann schreibst du auch $\begin{eqnarray} x_0 = a \end{eqnarray}$ . Meinst du nicht eher $\begin{eqnarray} y_0 = a \end{eqnarray}$ ? So hat es wohl auch bishop aufgefaßt. Auch die Orientierung des Koordinatensystems ist unklar. In der Zeichnung gilt: $\begin{eqnarray} \vec{o} \, ' = \left( 0,a \right) \, ; \ \ \ \vec{i} \, ' = \left( b,-1 \right) \, , \ \ \vec{j} \, ' = \left( 1,b \right) \end{eqnarray}$ Falls die neuen Basisvektoren dieselbe Länge wie die alten haben sollen, mußt du sie noch mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{1+b^2}} \end{eqnarray}$ multiplizieren. [attach]8738[/attach] Mit dem obigen Ansatz gelten somit die Beziehungen $\begin{eqnarray} x = bx' + y' \, , \ \ y = a - x' + by' \end{eqnarray}$ In der Gleichung $\begin{eqnarray} y = a + bx + cx^2 + dx^3 \end{eqnarray}$ mußt du nun $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ gemäß diesen Gleichungen substituieren, dann bekommst du die Beschreibung der Kurve in den neuen Koordinaten. Du darfst allerdings nicht erwarten, daß diese Gleichung in einfacher Weise nach $\begin{eqnarray} y' \end{eqnarray}$ auflösbar ist. Im allgemeinen ist die Kurve im neuen Koordinatensystem nicht der Graph einer Funktion.

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