Induktion-Funktionalgleichung

05.07.2006, 17:38

sqrt4

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Induktion-Funktionalgleichung

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{Q}_+ \rightarrow \mathbb{Q}_+ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x+1)=f(x)+1 \end{eqnarray*}$ (1)
$\begin{eqnarray*} f(x^2)=f(x)^2 \end{eqnarray*}$ (2)
man finde alle Funktionen...

Setzt man $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ in (2) so erhält man $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ Außerdem kann man leicht mit Induktion zeigen dass $\begin{eqnarray*} f(n)=n \end{eqnarray*}$
So jetzt meine Frage:

Wo ist der Fehler in der folgenden Gleichungskette:
$\begin{eqnarray*} \forall x,n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(nx)=nx=nf(x) \end{eqnarray*}$
Ich bin der Meinung das ist richtig.
Dann gehts nämlich ganz einfach das ganze auf die rationalen Zahlen zu erweitern.

05.07.2006, 18:27

Frooke

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Du hast doch keinen Fehler dabei. Die identische Funktion $\begin{eqnarray*} \mathrm{id}_{\mathbb Q_{+}} x \end{eqnarray*}$ erfüllt alle Bedingungen.

05.07.2006, 18:59

sqrt4

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na also. das werd ich dem gleich mal erzählen

Danke

05.07.2006, 19:28

AD

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$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ mag Lösung der Funktionalgleichung sein. Aber das ist noch lange kein Beweis, dass es nicht noch andere Lösungen gibt. Da muss also noch was von dir kommen!

Zitat:

Original von sqrt4
$\begin{eqnarray*} \forall x,n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(nx)=nx=nf(x) \end{eqnarray*}$
Ich bin der Meinung das ist richtig.

Auf den natürlichen Zahlen ist es richtig, ja. Aber wie du das einfach auf die rationalen Zahlen erweitern willst, ist mir noch nicht ganz klar. unglücklich

unglücklich

05.07.2006, 21:23

papahuhn

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RE: Induktion-Funktionalgleichung

Zitat:

Original von sqrt4
Setzt man $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ in (2) so erhält man $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$

Aber nicht nur.

Edit: Ok vergiss es, der Fall führt zu Widersprüchen.

06.07.2006, 07:40

AD

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Hab ich auch erst gedacht, weil ich die Null mit zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}_+ \end{eqnarray*}$ gezählt hatte. Aber offenbar sollen das doch nur die positiven rationalen Zahlen sein.

Zum Thema: Man kann recht schnell $\begin{eqnarray*} f(x)\geq x \end{eqnarray*}$ nachweisen, aber eine wasserdichte Argumentation zum sicheren Ausschluss der Möglichkeit $\begin{eqnarray*} f(x)>x \end{eqnarray*}$ sehe ich momentan noch nicht. verwirrt

verwirrt

EDIT: Ach, Ok, auch wenn man die Null dazunimmt, muss f(1)=1 sein, da gibt es nur noch einen kleinen Zwischenschritt in der Argumentation. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT2: Ok, hab's jetzt. Aber die Argumentation ist etwas tricky - bin sehr gespannt, wie du es gemacht hast, sqrt4. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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06.07.2006, 14:49

sqrt4

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naja mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q^+} \end{eqnarray*}$ wollte ich die positiven rationalen bezeichnen ( ohne null)
kurze zwischenfrage wie kann man da den Nuller als Index schreiben ( ich weiß wie es geht aber wenn ich null eingebe spukt er mir irgendwelche Zeichen aus aber nicht die Null)

$\begin{eqnarray*} f(x^2)=f(x)^2 \end{eqnarray*}$
wenn $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(1)=0 \end{eqnarray*}$ . (0 wurde aber ausgeschlossen also f(1)=1)
Habe das bisher immer so gemacht, dass ich dann $\begin{eqnarray*} x=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ gesetzt habe. ( $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ )
Das kann man umschreiben, in $\begin{eqnarray*} b \cdot x=a\cdot 1 \end{eqnarray*}$
Dann wende ich links und rechts die Funktion an.
Also $\begin{eqnarray*} f(b\cdot x)=f(a \cdot 1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(a\cdot 1)=a\cdot f(1)=a \end{eqnarray*}$

Und ihr habt mich jetzt zum grübeln gebracht. Ich dachte dass ich dann $\begin{eqnarray*} f(b\cdot x)=b\cdot f(x) \end{eqnarray*}$ folgern könnte.
Denn dann wäre man fertig. Dann teilt man noch durch b und es steht $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a}{b}=x \end{eqnarray*}$ da.

Aber $\begin{eqnarray*} f(b\cdot x)=b\cdot f(x) \end{eqnarray*}$ gilt ja nur für natürliche Zahlen. Oh je unglücklich

unglücklich

Das komische ist genau auf diese Weise werden andere Funktionalgleichungen im Buch vom Arthur Engel gelöst (Problem Solving Strategies)

06.07.2006, 14:54

AD

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Genau das ist das Problem, aber es ist lösbar. Vermutlich willst du selbst noch ein Weilchen grübeln - ich geb dir aber mal einen Tipp:

Für dein $\begin{eqnarray*} x=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ versuch mal $\begin{eqnarray*} f((x+b)^2) \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ auszudrücken, und zwar auf zwei verschiedenen Wegen...

06.07.2006, 15:09

sqrt4

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Einerseits ist:
$\begin{eqnarray*} f((x+b)^2)=f(x+b)^2 \end{eqnarray*}$
wobei
$\begin{eqnarray*} f((x+b-1)+1)=f(x+b-1)+1=f((x+b-2)+1)+1=.....=f(x)+b \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} f((x+b)^2)=(f(x)+b)^2 \end{eqnarray*}$

Ist das der eine Teil?

06.07.2006, 15:10

AD

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Genau. Und beim anderen multiplizierst du erst das Quadrat aus.

06.07.2006, 15:16

sqrt4

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Verdammt bist du genial

Das is echt spitze
Man setzt das noch gleich und es folgt sofort f(x)=x

Gut dass ich darauf gestoßen bin. Habe die Aufgabe vom BWM 2. Runde genau so bearbeitet. Muss ich wohl nochmal überdenken.

Aber nochmal zum Buch. Dann is dass ja Blödsinn was die geschrieben haben. (oder auch nicht - Lsg immer im Telegrammstil - und ich versteh sie wahrscheinlich nicht)

06.07.2006, 15:18

AD

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Das ist es, was ich oben als "tricky" bezeichnete und funktioniert natürlich nur, weil in $\begin{eqnarray*} (x+b)^2=x^2+2xb+b^2 \end{eqnarray*}$ der Anteil $\begin{eqnarray*} 2xb+b^2 \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl ist. Freude

Freude

06.07.2006, 15:21

sqrt4

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Kann man mit dem (x+b)^2 so was immer bearbeiten ? Also hast du das mal an der Uni gelernt oder war das Intuition? WEnn ja dann is es wirklich "tricky".

06.07.2006, 15:23

AD

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Intuition und Erfahrung aus der Ecke. An der Uni eher weniger.

06.07.2006, 15:23

sqrt4

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Die Frage ob man das immer anwenden kann kann ich mir selber beantworten. Man muss sich eben die gegebenen Gleichungen genau ansehen und schaun was passt.

Ich meine $\begin{eqnarray*} (x+b)^2 \end{eqnarray*}$ hätte nichts gebracht, wenn nicht gegeben wäre dass $\begin{eqnarray*} f(x^2)=f(x)^2 \end{eqnarray*}$ . ODER ?

06.07.2006, 16:29

AD

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Natürlich nicht, das ist schon sehr an Eigenschaft (2) gebunden.

Man muss eben das nutzen, was man zur Verfügung hat, generelle Rezepte sind da schwierig zu formulieren. Wir hatten hier im Board auch schon die eine oder andere Funktionalgleichung, z.B.

Funktionalgleichung [ehemals "Rekonstruktion"]

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